Question

已知在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=12，AB=5，M為AC上一點，N為BC上一點，MN把三角形面積二等分，求MN的最小值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：由C為直角，在直角三角形ABC中，由邊AC及AB的長，利用勾股定理求出BC的長，再根據(jù)兩直角邊乘積的一半求出三角形ABC的面積，同時根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求出sinB及cosB的值，設(shè)線段BM的長度為x，線段BN的長度為y，由直線MN把三角形分為面積相等的兩部分，可得三角形BMN的面積等于三角形ABC面積的一半，由x，y及sinB的值，利用三角形的面積公式列出關(guān)系式，求出xy的值，在三角形CMN中，由x，y及cosB的值，利用余弦定理得|MN|²=x²+y²-2xycosB，把cosB的值代入，利用基本不等式變形，再將xy的值代入，即可求出|MN|的最小值．

解答：解：∵∠A=90°，AC=12，AB=5，
∴根據(jù)勾股定理得：CB=13，
∴S_△ABC=

1

2

AC•AB=30，
∴sinB=

AC

CB

=

12

13

，sinC=

AB

BC

=

5

13

，
設(shè)CM=x，CN=y，
∵S_△CEF=

1

2

S_△ABC
∴

1

2

xysinC=

1

2

×

5

13

xy=15，
∴xy=78，
在△CMN中，CM=x，CN=y，cosC=

CA

CB

=

12

13

，
由余弦定理有：MN²=x²+y²-2xycosB=x²+y²-144≥2xy-144，
當且僅當x=y=取等號，
∴|MN|_min=2．

點評：本題主要考查解直角三角形，利用余弦定理列出關(guān)于MN的不等式是解題的關(guān)鍵．