Question

從正方形ABCD的頂點A作∠EAF=45°，交DC于點F，BC于點E．
（1）問DF+BE=EF嗎？
（2）過點A作AP⊥EF于P，求證：AP=AB．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADH，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=DH，AE=AH，∠BAE=∠DAH，然后求出∠EAF=∠HAF=45°，再利用“邊角邊”證明△AEF和△AHF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=HF，再根據(jù)DF+DH=FH等量代換即可得證；
（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的高相等可得AP=AD，再根據(jù)AB=AD等量代換即可得證．

解答：（1）解：如圖，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADH，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BE=DH，AE=AH，∠BAE=∠DAH，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠HAF=45°，
在△AEF和△AHF中，

AE=AH ∠EAF=∠HAF=45° AF=AF

，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴EF=HF，
∵DF+DH=FH，
∴DF+BE=EF；

（2）∵△AEF≌△AHF，AP、AD分別是△AEF和△AHF對應(yīng)邊上的高，
∴AP=AD，
∵AB=AD，
∴AP=AB．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．