Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+3x交x軸正半軸于點A（6，0），頂點為M，對稱軸MB交x軸于點B，過點C（2，0）作射線CD交MB于點D（D在x軸上方），OE∥CD交MB于點E，EF∥x軸交CD于點F，作直線MF．

（1）求a的值及M的坐標；
（2）當BD為何值時，點F恰好落在該拋物線上？
（3）當∠DCB=45°時：
①求直線MF的解析式；
②延長OE交FM于點G，四邊形DEGF和四邊形OEDC的面積分別記為S1、S2 ， 則S1：S2的值為（直接寫答案）

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（6，0）代入y=ax2+3x得36a+18=0，解得a=﹣ ；

拋物線解析式為y=﹣ x2+3x，

∵y=﹣ （x﹣3）2+ ，

∴M點的坐標為（3， ）

（2）解：∵CF∥OE，EF∥OC，

∴四邊形OCFE為平行四邊形，

∴EF=OC=2，

∵拋物線的對稱軸為直線x=3，B（3，0），

∴F點的橫坐標為5，

當x=5時，y=﹣ x2+3x= ，即F（5， ），

∴BE= ，

∵EF∥BC，

∴△BCD∽△EFD，

∴ = = ，

∴BD= BE= × = ，

即當BD為 時，點F恰好落在該拋物線上

（3）∵CD∥OE,∴∠BOE=∠DCB=45°∴△BOE為等腰直角三角形, ∴BE=OE=3,則E（3,3）,∴直線OE的解析式為y=x,同理可得△BCD為等腰直角三角形,∴BD=BC=1,∴DE=2,∵EF∥OC,EF=OC=2,∴F（5,3）,設(shè)直線MF的解析式為y=kx+b,把M（3, ）,F（5,3）代入得 ,解得 ,∴直線MF的解析式為y=﹣ x+ ；,
【解析】解：（3）②解方程組 得 ，則G（ ， ），

∴S1=S△GEF+S△DEF= ×2×（ ﹣3）+ ×2×2= ，

S2=S△BOE﹣S△BCD= ×3×3﹣ ×1×1=4，

∴ = = ．

所以答案是 ．

【考點精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達式和二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識點，需要掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．