Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P（a，b）在反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上，由點(diǎn)P向x軸，y軸所作的垂線PM，PN（垂足為M，N）分別與直線AB相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F，并且矩形PMON的面積為定值2．
（1）求k的值．
（2）求∠OAB的度數(shù)．
（3）當(dāng)a=

3

2

時(shí)，證明：△AOF∽△BEO．
（4）當(dāng)點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上移動(dòng)時(shí)，△AOF與△BEO是否始終相似．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,相似三角形的判定

專題：綜合題

分析：（1）由矩形PMON的面積為2可得到ab=2，再由點(diǎn)P（a，b）在反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上可求得k=ab=2；
（2）可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而得到OA=OB，再根據(jù)∠AOB=90°就可求出∠OAB的度數(shù)；
（3）過點(diǎn)E作ED⊥y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)F作FC⊥x軸于點(diǎn)C，則有BE=

2

DE=

2

a，AF=

2

FC=

2

b．由a=

3

2

可求出b、BE、AF，由此可得到

AF

AO

=

BO

BE

，根據(jù)相似三角形的判定即可證到△AOF∽△BEO；
（4）同（3）可得到BE=

2

a，AF=

2

b，則有BE•AF=2ab=4=OA•OB，即

AF

AO

=

BO

BE

，根據(jù)相似三角形的判定即可證到△AOF∽△BEO．

解答：解：（1）∵點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，b），矩形PMON的面積為2，
∴ab=2．
∵點(diǎn)P（a，b）在反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上，
∴k=ab=2；

（2）在y=-x+2中，
由x=0得y=2，則B的坐標(biāo)為（0，2），OB=2；
由y=0得x=2，則A的坐標(biāo)是（2，0），OA=2，
∴OA=OB=2．
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°；

（3）證明：過點(diǎn)E作ED⊥y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)F作FC⊥x軸于點(diǎn)C，如圖，
則有BE=

DE

sin45°

=

2

DE=

2

a，AF=

FC

sin45°

=

2

FC=

2

b．
∵a=

3

2

，ab=2，
∴b=

4

3

，
∴BE=

3 2

2

，AF=

4 2

3

，
∴BE•AF=4，
∴BE•AF=OA•OB=4，
∴

AF

AO

=

BO

BE

．
∵∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AOF∽△BEO；

（4）當(dāng)點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上移動(dòng)時(shí)，△AOF與△BEO始終相似．
理由如下：
如圖，由（3）得BE=

2

a，AF=

2

b，
∴BE•AF=2ab=4=OA•OB，
∴

AF

AO

=

BO

BE

．
∵∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AOF∽△BEO．

點(diǎn)評：本題主要考查了反比例函數(shù)及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定、三角函數(shù)等知識，運(yùn)用整體思想得到BE•AF=2ab=4=OA•OB是解決第（4）小題的關(guān)鍵．