Question

已知△ABC的面積為24，四邊形DEFG是它的內(nèi)接矩形，則矩形DEFG的面積最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值

專(zhuān)題：

分析：設(shè)BC=a，BC邊上的高是h，DE=y，則AM=h，AN=h-y，ah=48，設(shè)DG=x．依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可以表示出矩形DEFG的面積，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解答：解：作CM⊥BC于M，交DG于點(diǎn)N．

設(shè)BC=a，BC邊上的高是h，DE=y，則AM=h，AN=h-y，ah=48，設(shè)DG=x．
∵△ADG∽△ABC，

DG

BC

=

h-GF

h

即

x

a

=

h-y

h

，則xh=ah-ay，
則y=

ah-xh

a

=

48-xh

a

，
則矩形DEFG的面積s=xy=

48-xh

a

x，
即s=-

h

a

x2+

48

a

x，
當(dāng)x=-

48 a

- 2h a

=

24

h

時(shí)，s有最大值．
最大值是：-

h

a

(

24

h

)2+

48

a

×

24

h

=-

576

ah

+

48×24

ah

=-

576

48

+

48×24

48

=12，
故矩形DEFG的面積的最大值是12．
故答案為：12．

點(diǎn)評(píng)：本題是相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確理解二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．