Question

如圖，已知正比例函數(shù)y=

3

x與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象都經(jīng)過橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)P，第一象限中的點(diǎn)A是函數(shù)y=

3

x圖象上異于點(diǎn)P的一點(diǎn)，作AB∥y軸，交函數(shù)y=

k

x

的圖象于點(diǎn)B，作AC∥x軸，交函數(shù)y=

k

x

的圖象于點(diǎn)C．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）試猜想：∠B的大小是否隨點(diǎn)A位置的變化而變化？如果不變，求出∠B的度數(shù)，如果變化，請說明理由；
（3）當(dāng)BC平分∠ABP時，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由正比例函數(shù)y=

3

x的圖象經(jīng)過橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)P，可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，又由反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象也經(jīng)過點(diǎn)P，即可求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）首先設(shè)正比例函數(shù)y=

3

x圖象上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，

3

m）（m＞0且m≠1）．由題意可得∠BAC=90°，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，

3

m

），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

1

m

，

3

m），繼而求得∠B=30°；
（3）由當(dāng)BC平分∠ABP時，那么∠ABP=60°．可設(shè)直線PB的表達(dá)式為y=kx+b，交x軸于點(diǎn)D，y軸于點(diǎn)E．繼而可求得PB的解析式，則可求得答案．

解答：解：（1）∵正比例函數(shù)y=

3

x的圖象經(jīng)過橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)P，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，

3

），
又∵反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象也經(jīng)過點(diǎn)P，
∴

3

=

k

1

，
即k=

3

．
∴所求反比例函數(shù)的解析式為y=

3

x

；

（2）不變．
證明如下：
設(shè)正比例函數(shù)y=

3

x圖象上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，

3

m）（m＞0且m≠1）．
由題意，得∠BAC=90°，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，

3

m

），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

1

m

，

3

m）．
∴AB=|

3

m-

3

m

|=|

3 (m2-1)

m

|，AC=|m-

1

m

|=|

m2-1

m

|．
∴tan∠B=

AC

AB

=

| m2-1 m |

| 3 (m2-1) m |

=

3

3

，
∴銳角∠B=30°，即不變．

（3）當(dāng)BC平分∠ABP時，那么∠ABP=60°．
設(shè)直線PB的表達(dá)式為y=kx+b，交x軸于點(diǎn)D，y軸于點(diǎn)E．
那么點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，b）、點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3

b，0）．
∴0=

3

bk+b．
解得：k=-

3

3

．
又∵直線PB經(jīng)過點(diǎn)P，
∴

3

=-

3

3

+b．
解得：b=

4 3

3

．
∴直線PB的表達(dá)式為：y=-

3

3

x+

4 3

3

，
又∵

y=- 3 3 x+ 4 3 3 y= 3 x

，
解得：

x=3 y= 3 3

；
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，

3

3

）．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，3

3

）．

點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題以及三角函數(shù)等知識．此題難度較大，綜合性較強(qiáng)，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．