Question

4．【問題思考】有這么一道數(shù)學(xué)問題：“若x+2y=5，則代數(shù)式5-2x-4y的值為-5”
同學(xué)A：我可以選擇特殊值法求解，如取x=1，那么y=2，

則所求代數(shù)式的值為5-2x-4y=5-2×1-4×2=-5，
同學(xué)B：我也可以用整體思想進(jìn)行求解，設(shè)a=x+2y=5，
5-2x-4y=5-2（x+2y）=5-2a=5-2×5=-5
[問題解決】運(yùn)用上述思想方法解決下列問題：
（1）若代數(shù)式a²+2a的值為5，則代數(shù)式5-4a-2a²的值為-5．
（2）若方程組$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}x+_{1}y={c}_{1}}\\{{a}_{2}x+_{2}y={c}_{2}}\end{array}\right.$的解是$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，則方程組$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}x+2_{1}y=4{c}_{1}}\\{{a}_{2}x+2_{2}y=4{c}_{2}}\end{array}\right.$的解是$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$
（3）方程組$\left\{\begin{array}{l}{2013（x+2）+2014（y+1）=1}\\{2014（x+2）+2013（y+1）=-1}\end{array}\right.$的解是$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=0}\end{array}\right.$
（4）已知分式方程x+$\frac{1}{x}$=2+$\frac{1}{2}$的解為x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$，那么方程x+$\frac{1}{x-1}$=a+$\frac{1}{a-1}$的解為x₁=a，x₂=$\frac{a}{a-1}$．
（5）不交于同一點(diǎn)的三條直線兩兩相交（如圖（1））有6對同旁內(nèi)角；不交于同一點(diǎn)的四條直線兩兩相交（如圖（2）），有24對同旁內(nèi)角．

【問題遷移】
《怎樣解題》的作者波利亞說過：“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題比分析問題、解決問題更重要，請你提出一個能用整體思想來求解的有關(guān)因式分解的問題，并寫出解題過程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)a²+2a=x，將原式變形后整體代入即可；
（2）將方程組②變形為類似①的形式，并設(shè)$\frac{1}{4}$x=m，$\frac{1}{2}$y=n，由①得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$    即$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$，
（3）設(shè)x+2=a，y+1=b，將原方程組整體代入后解方程組即可；
（4）將分式方程左邊變形為互為倒數(shù)的形式，得出結(jié)論，求出x的值；
（5）如圖（1），按兩條直線被第三條直線所截，得出同旁內(nèi)角的對數(shù)，發(fā)現(xiàn)可以形成6對同旁內(nèi)角；如圖（2），根據(jù)（1）中的結(jié)論得出；
【問題遷移】寫出一個式子，并分解因式，把a(bǔ)+b看成一個整體，去括號，利用完全平方公式因式分解．

解答 解：（1）設(shè)a²+2a=x，
則5-4a-2a²的=5-2（a²+2a）=5-2x=5-2×5=-5；
故答案為：-5；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}x+_{1}y={c}_{1}}\\{{a}_{2}x+_{2}y={c}_{2}}\end{array}\right.$①，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}x+2_{1}y=4{c}_{1}}\\{{a}_{2}x+2_{2}y=4{c}_{2}}\end{array}\right.$②，
將②變形得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}•\frac{1}{4}x+_{1}•\frac{1}{2}y={c}_{1}}\\{{a}_{2}•\frac{1}{4}x+_{2}•\frac{1}{2}y={c}_{2}}\end{array}\right.$③，
設(shè)$\frac{1}{4}$x=m，$\frac{1}{2}$y=n，
則方程組③可化為：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}m+_{1}n={c}_{1}}\\{{a}_{2}m+_{2}n={c}_{2}}\end{array}\right.$④，
比較方程組①和④得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$    即$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴方程組②的解為：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$；
故答案為；$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$；
（3）設(shè)x+2=a，y+1=b，
則原方程組變形為：$\left\{\begin{array}{l}{2013a+2014b=1①}\\{2014a+2013b=-1②}\end{array}\right.$，
①+②得：a+b=0③，
②-①得：a-b=-2④，
由③和④組成新的方程組為$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0}\\{a-b=-2}\end{array}\right.$  解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=0}\end{array}\right.$，
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=0}\end{array}\right.$；
（4）x+$\frac{1}{x-1}$=a+$\frac{1}{a-1}$，
x-1+$\frac{1}{x-1}$=a-1+$\frac{1}{a-1}$，
∴x-1=a-1，x-1=$\frac{1}{a-1}$，
∴x₁=a，x₂=$\frac{a}{a-1}$，
經(jīng)檢驗(yàn)：x₁=a，x₂=$\frac{a}{a-1}$是原方程的解；
故答案為：x₁=a，x₂=$\frac{a}{a-1}$；
（5）如圖（1），直線a與直線c被直線b所截時，所構(gòu)成的同旁內(nèi)角有：∠1與∠ABC，∠2與∠CBD，
同理，每一條直線做截線時，都有兩對同旁內(nèi)角，所以一共有6對同旁內(nèi)角；
如圖2，不交于同一點(diǎn)的四條直線兩兩相交，設(shè)這四條直線分別為a、b、c、d，可以分為①a、b、c，②a、b、d，③a、c、d，④b、c、d，每三條直線都構(gòu)成了6對同旁內(nèi)角，所以這四組線中一共有24對同旁內(nèi)角；
故答案為：6，24；
【問題遷移】
因式分解：（a+b）（a+b-4）+4，
解：原式=（a+b）²-4（a+b）+4，
=（a+b-2）²．

點(diǎn)評 本題是根據(jù)閱讀材料解決實(shí)際問題，運(yùn)用的知識比較多，但難度不大；介紹了特殊值法和整體代入的思想，這在數(shù)學(xué)解答中經(jīng)常運(yùn)用，尤其是整體代入的思想，可以應(yīng)用于解方程或方程組，也可以利用整體代入求值或因式分解，同時在幾何圖形中也有運(yùn)用．