Question

【題目】如圖，在ABCD中，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE= BC，連接DE，CF．
（1）求證：DE=CF；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD∥BC．

又∵F是AD的中點(diǎn)，∴FD= AD．

∵CE= BC，

∴FD=CE．

又∵FD∥CE，

∴四邊形CEDF是平行四邊形．

∴DE=CF

（2）解：過(guò)D作DG⊥CE于點(diǎn)G．如圖所示：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，CD=AB=4，BC=AD=6．

∴∠DCE=∠B=60°．

在Rt△CDG中，∠DGC=90°，

∴∠CDG=30°，

∴CG= CD=2．

由勾股定理，得DG= =2 ．

∵CE= BC=3，

∴GE=1．

在Rt△DEG中，∠DGE=90°，

∴DE= = ．

【解析】（1）由“平行四邊形的對(duì)邊平行且相等”的性質(zhì)推知AD∥BC，且AD=BC；然后根據(jù)中點(diǎn)的定義、結(jié)合已知條件推知四邊形CEDF的對(duì)邊平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），得出四邊形CEDF是平行四邊形，即可得出結(jié)論；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BE于點(diǎn)H，構(gòu)造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通過(guò)解直角△DCH和在直角△DHE中運(yùn)用勾股定理來(lái)求線段ED的長(zhǎng)度．
【考點(diǎn)精析】利用平行四邊形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分．