Question

【題目】如圖1，矩形AOCB在坐標系中，A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，AB＞AO，矩形AOCB周長為18，面積為18．

（1）求B點坐標；

（2）如圖2，E、D、G分別在OC、AB、BC上，連接ED、OG，若OG⊥ED于F，OE＝2AD，設D點橫坐標為t，求CG的長（用含t的代數(shù)式表示）；

（3）如圖3，在（2）的條件下，M是AB中點，連接FM并延長FM至P，連OP交AB于Q，若DQ＝，∠OPF＝∠COG＝β，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）(6，3)；（2）2t；（3）

【解析】

（1）設B點坐標為(m，n)，根據(jù)矩形周長和面積的值列方程組求解．

（2）作DH⊥OC于H，可證△DHE△OCG，由相似比可得CG＝2HE＝2AD．

（3）作MN⊥OC于N，交OG于K，連接OD，設DE與OQ交于點R．先證DMKF四點共圓，進而得出∠KFM＝45°，再導角推出OP是∠AOG的角平分線，然后可以導出△DRQ和△EOR均為等腰三角形，于是DE的長可用t表示出來．注意到∠AOD與∠NOK相等，可推出OD＝DE，最后利用直角三角形AOD列勾股方程解出t的值．

解：（1）設B點坐標為(m，n)．

由題意可知：

，

解得：，

∴B點坐標為(6，3)．

（2）如圖2，作DH⊥OC于H．

則∠DHE＝90°，

∴∠HDE+∠DEH＝90°，

∵DH⊥OG于F，

∴∠GOC+∠DEH＝∠OFE＝90°，

∴∠HDE＝∠COG，

∵∠OCG＝90°＝∠DHE，

∴△DHE△OCG，

∴，

∵B(6，3)，

∴AB＝OC＝6，AO＝DH＝BC＝3，

∴，

∴CG＝2HE，

∵D點橫坐標為t，

∴OH＝AD＝t，

∴OE＝2AD，

∴HE＝OH＝t，

∴CG＝2HE＝2t．

（3）如圖3，作MN⊥OC于N，交OG于K，連接OD．

∵M為AB中點，

∴AM＝BM＝ON＝CN＝AO＝BC＝MN＝3，KN＝CG＝t，

∴KN＝AD，所以DM＝KM，

∵∠DFK＝∠DMK＝90°，

∴DFKM四點共圓，

∴∠DFM＝∠KFM＝45°，

∵∠KFM＝∠OPF+∠FOP，

∴∠FOP+β＝45°，

∴2∠FOP+2β＝90°，

∵∠AOC＝90°，

∴∠AOQ+∠FOP+∠COG＝∠AOQ+∠FOP+2β＝90°，

∴∠AOQ＝∠FOP，

∵∠OAQ＝∠OFR＝90°，

∴∠ORF＝∠OQA，

∵∠ORF＝∠DRQ，∠OQA＝∠ROE，

∴∠DRQ＝∠OQA，∠ROE＝∠ORF，

∴DR＝DQ＝，RE＝OE＝2t，

∴DE＝DR+RE＝+2t，

∵tan∠AOD＝＝＝tan∠NOK，

∴∠AOD＝∠NOK，

∵∠AOD+∠DOE＝∠NOK+∠OEF＝90°，

∴∠DOE＝∠OEF，

∴OD＝DE＝+2t，

在Rt△AOD中：OA2+AD2＝OD2，

∴9+t2＝，

解得t＝．