Question

已知：如圖，在△CDE中，∠DCE=90°，CD=CE，直線AB經(jīng)過點C，且點D、E在直線AB的同側，在直線AB上點C的左、右兩側分別取點A、B，使得∠DAC=∠EBC=∠DCE．
（1）求證：AB=AD+BE；
（2）如果將問題中的條件“∠DCE=90°”改為“∠DCE=β”，其他條件不變，（1）中的結論還成立嗎？為什么？請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：計算題

分析：（1）利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且CD=CE，利用AAS得到三角形ACD與三角形BCE全等，利用全等三角形的對應邊相等得到AD=BC，AC=BE，由AB=AC+CB，等量代換即可得證；
（2）將問題中的條件“∠DCE=90°”改為“∠DCE=β”，其他條件不變，（1）中的結論還成立，理由為：根據(jù)∠ADC+∠ACD=β，∠ACD+∠BCE=β，等量代換得到∠ADC=∠BCE，再由∠DAC=∠CBE=β，CD=CE，利用AAS得到三角形ACD與三角形BCE全等，利用全等三角形的對應邊相等得到AD=BC，AC=BE，由AB=AC+CB，等量代換即可得證．

解答：（1）證明：∵∠DAC=∠EBC=∠DCE=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠ADC=∠BCE，
在△ADC和△CBE中，

∠ADC=∠BCE ∠DAC=∠EBC DC=EC

，
∴△ADC≌△CBE（AAS），
∴AD=BC，AC=BE，
∴AB=AC+CB=AD+BE；
（2）將問題中的條件“∠DCE=90°”改為“∠DCE=β”，其他條件不變，（1）中的結論還成立，理由為：
證明：∵∠DAC=∠EBC=∠DCE=β，
∴∠ADC+∠ACD=β，∠ACD+∠BCE=β，
∴∠ADC=∠BCE，
在△ADC和△CBE中，

∠ADC=∠BCE ∠DAC=∠EBC DC=EC

，
∴△ADC≌△CBE（AAS），
∴AD=BC，AC=BE，
∴AB=AC+CB=AD+BE．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．