Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O與AC邊交于點D，過點D的直線交BC邊于點E，∠BDE=∠A．
（1）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）若⊙O的半徑R=5，tanA=

3

4

，求線段CD的長．

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）連接OD，利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出OD⊥DE，進而得出答案；
（2）得出△BCD∽△ACB，進而利用相似三角形的性質(zhì)得出CD的長．

解答：解：（1）直線DE與⊙O相切．
理由如下：連接OD．
∵OA=OD
∴∠ODA=∠A
又∵∠BDE=∠A
∴∠ODA=∠BDE
∵AB是⊙O直徑
∴∠ADB=90°
即∠ODA+∠ODB=90°
∴∠BDE+∠ODB=90°
∴∠ODE=90°
∴OD⊥DE
∴DE與⊙O相切；

（2）∵R=5，
∴AB=10，
在Rt△ABC中
∵tanA=

BC

AB

=

3

4

∴BC=AB•tanA=10×

3

4

=

15

2

，
∴AC=

AB2+BC2

=

102+( 15 2 )2

=

25

2

，
∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB
∴△BCD∽△ACB
∴

CD

CB

=

CB

CA

∴CD=

CB2

CA

=

( 15 2 )2

25 2

=

9

2

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及切線的判定和圓周角定理等知識，得出△BCD∽△ACB是解題關(guān)鍵．