Question

如圖，直線y=x與雙曲線y=

k

x

（x＞0）相交于點A，點P在雙曲線上，過P做PB∥y軸，交直線y=x于點B，點Q在x軸的正半軸上．
（1）如果點A是線段OB中點，∠PAQ=45°
①求證：△OAQ∽△BPA；
②連接PQ，如果點A到線段PQ的距離為2，求k的值．
（2）如果點P在雙曲線上移動（不與A重合），且保持△OAQ∽△BPA，那么∠PAQ是45°嗎？若是，請說明理由；若不是，能確定其大小嗎？

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）①先根據(jù)直線y=x求得∠AOQ=∠ABP=45°，然后根據(jù)三角形的外角的直線和三角形內(nèi)角和定理求得∠AQO=∠PAB即可求得三角形相似．②根據(jù)點A到線段PQ的距離為2和勾股定理求得OQ=PB=2

2

，然后根據(jù)①求得的相似三角形求得OA的長，進而求得A點坐標(biāo)，然后代入反比例函數(shù)的表達(dá)式即可求得；
（3）先根據(jù)直線y=x求得∠AOQ=∠ABP=45°，然后根據(jù)三角形相似求得∠OQA=∠BAP，最后依據(jù)三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求得；

解答：（1）①證明：由直線y=x可知∠AOQ=∠1=45°，
∵PB∥y軸，
∴∠ABP=∠1=45°，
∵∠AOQ+∠AQO+∠OAQ=180°，∠OAQ+∠PAQ+∠PAB=180°，∠AOQ=∠PAQ=45°，
∴∠AQO=∠PAB，
∵∠AOQ=∠ABP=45°，
∴△OAQ∽△BPA；

②解：分別過Q、P點作直線y=x的垂線，交直線與M、N．
∵點A到線段PQ的距離為2，
∴QM=PN=2，
∵∠AOQ=∠ABP=45°，∠OMQ=∠PNB=90°，
∴OQ=PB=2

2

，
設(shè)OA=AB=x，
∵△OAQ∽△BPA，
∴

OA

PB

=

OQ

AB

，即

x

2 2

=

2 2

x

，
解得x=2

2

，
∵PA=2

2

，
∴A（2，2），
代入y=

k

x

得2=

k

2

，解得k=4，

（2）能確定；
理由：∵∠AOQ=∠ABP=45°，△OAQ∽△BPA，
∴∠OQA=∠BAP，
∵∠AOQ+∠AQO+∠OAQ=180°，∠OAQ+∠PAQ+∠PAB=180°，∠AOQ=45°，
∴∠PAQ=∠AOQ=45°．

點評：本題考查了一次函數(shù)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等．