Question

【題目】已知，在△ABC中，∠A＞∠B，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于AC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q，作直線PQ交AB于點(diǎn)D，再分別以點(diǎn)B，D為圓心，大于BD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，點(diǎn)N，作直線MN交BC于點(diǎn)E，若△CDE是等邊三角形，則∠A=_____．

Answer 1

【答案】45°

【解析】

如圖，由作法得PQ垂直平分AC，MN垂直平分BD，利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DC，EB=ED，則∠A=∠DCA，∠EDB=∠B，再利用等邊三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)計(jì)算出∠EDB=30°，則可判斷△ACD為等腰直角三角形，從而得到∠A=45°．

解：如圖，由作法得PQ垂直平分AC，MN垂直平分BD，

∴DA=DC，EB=ED，

∴∠A=∠DCA，∠EDB=∠B，

∵△CDE為等邊三角形，

∴∠CDE=∠DEC=60°，

而∠DEC=∠EDB+∠B，

∴∠EDB=×60°=30°，

∴∠CDB=90°，

∴△ACD為等腰直角三角形，

∴∠A=45°．

故答案為45°．