Question

【題目】如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP．

（1）示例：在圖1中，通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想并寫(xiě)出AB與AP所滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．

答：AB與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是　 　、　 　．

（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連結(jié)AP，BQ．請(qǐng)你觀察、測(cè)量，猜想并寫(xiě)出BQ與AP所滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．答：BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是　 　、　 　．

（3）將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連結(jié)AP、BQ．你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）AB=AP，AB⊥AP；（2）BQ=AP，BQ⊥AP；（3）成立，證明詳見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由于AC⊥BC，且AC=BC，邊EF與邊AC重合，且EF=FP，則△ABC與△EFP是全等的等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠CAP=45°，AB=AP，則∠BAP=90°，于是AP⊥AB；

（2）延長(zhǎng)BO交AP于H點(diǎn)，可得到△OPC為等腰直角三角形，則有OC=PC，根據(jù)“SAS”可判斷△ACP≌△BCO，則AP=BO，∠CAP=∠CBO，利用三角形內(nèi)角和定理可得到∠AHO=∠BCO=90°，即AP⊥BO；

（3）BO與AP所滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系為相等，位置關(guān)系為垂直．證明方法與（2）一樣．

試題解析：（1）AB=AP，AB⊥AP；

（2）BQ=AP，BQ⊥AP；

（3）成立．理由如下：

∵∠EPF=45°，∴∠CPQ=45°．

∵AC⊥BC，∴∠CQP=∠CPQ，CQ=CP．

在Rt△BCQ和Rt△ACP中，∵BC=AC，∠BCQ=∠ACP，CQ=CP，∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS），

∴BQ=AP；

延長(zhǎng)QB交AP于點(diǎn)N，∴∠PBN=∠CBQ．

∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴∠BQC=∠APC．

在Rt△BCQ中，∵∠BCQ+∠CBQ=90°，∴∠APC+∠PBN=90°，∴∠PNB=90°，∴QB⊥AP．