Question

【題目】實踐與操作：我們在學(xué)習(xí)四邊形的相關(guān)知識時，認識了平行四邊形、矩形、菱形、正方形等一些特殊的四邊形，下面我們用尺規(guī)作圖的方法來體會它們之間的聯(lián)系．如圖，在ABCD中，AB=4，BC=6，∠ABC=60°，請完成下列任務(wù)：
（1）在圖1中作一個菱形，使得點A、B為所作菱形的2個頂點，另外2個頂點在ABCD的邊上；在圖2中作一個菱形，使點B、D為所作菱形的2個頂點，另外2個頂點在ABCD的邊上；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）請在圖形下方橫線處直接寫出你按（1）中要求作出的菱形的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示：

（2）解：如圖1，作ABCD的高AH．

在直角△ABH中，∵AB=4，∠ABC=60°，

∴AH=ABsin60°=4× =2 ，BH=ABcos60°=4× =2，

∴S菱形ABEF=BEAH=4×2 =8 ；

如圖2，設(shè)BD與EF交于點O，作DM⊥BC于M，則CM=BH=2，DM=AH=2 ．

在直角△BDM中，∵∠M=90°，

∴BD= = =2 ．

設(shè)BF=x，CF=y，則DF=x，

由題意得 ，

解得 ，

∴OF= = = ，

∴S菱形ABEF= BDEF= ×2 × = ．

【解析】（1）如圖1，在AD、BC上分別截取AF=BE=4，連結(jié)EF，則四邊形ABEF是菱形；如圖2，連結(jié)BD，作BD的垂直平分線，交AD于E，BC于F，則四邊形BEDF是菱形；（2）如圖1，作ABCD的高AH，根據(jù)菱形的面積=底×高列式計算即可；如圖2，設(shè)BD與EF交于點O，作DM⊥BC于M，則CM=BH=2，DM=AH=2 ．分別求出BD與EF，根據(jù)菱形的面積=兩對角線乘積的一半列式計算即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行四邊形的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分，以及對菱形的性質(zhì)的理解，了解菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．