Question

【題目】問(wèn)題背景：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上老師出示問(wèn)題，如圖1，有邊長(zhǎng)為a的正方形紙片一張，三邊長(zhǎng)分別為a、b、c的全等直角三角形紙片兩張，且b ．請(qǐng)你用這三張紙片拼出一個(gè)圖案，并將這個(gè)圖案的某部分進(jìn)行旋轉(zhuǎn)或平移變換之后，提出一個(gè)問(wèn)題（可以添加其他條件，例如可以給出a、b的值等等）．
解決問(wèn)題：

下面是兩個(gè)學(xué)習(xí)小組拼出圖案后提出的問(wèn)題，請(qǐng)你解決他們提出的問(wèn)題．
（1）“愛(ài)心”小組提出的問(wèn)題是：如圖2，將△DFC繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D恰好落在AD邊上的點(diǎn)D′處，猜想此時(shí)四邊形AEFD′是什么特殊四邊形，并加以證明；
（2）“希望”小組提出的問(wèn)題是：如圖3，點(diǎn)M為BE中點(diǎn)，將△DCF向左平移至DF恰好過(guò)點(diǎn)M時(shí)停止，且補(bǔ)充條件a=6，b=2，求△DCF平移的距離．
自主創(chuàng)新：
（3）請(qǐng)你仿照上述小組的同學(xué)，在下面圖4的空白處用實(shí)線(xiàn)畫(huà)出你拼出的圖案，用虛線(xiàn)畫(huà)出變換圖，并在橫線(xiàn)處寫(xiě)出你提出的問(wèn)題．（不必解答）
你提出的問(wèn)題： ．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：作FG⊥AD，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADC=∠C=90°，AD∥BC，

∴四邊形GFCD是矩形，

∴GD=FC=b，

∴FD=FD′，

∴D′G=DG=b，

∴AD′=AD﹣2DG=a﹣2b，

∵BE=FC=b，

∴EF=BC﹣2FC=a﹣2b，

∴AD′=EF，

∵AD′∥EF，

∴四邊形AEFD′是平行四邊形

（2）

解：由平移知，∠C′D′F′=∠CDF=∠EBC，

∵∠C′D′F′+∠BF′M=90°，

∴∠MBF′+∠BF′M=90°，

∴∠BMF′=90°，

由勾股定理得，BE= =2 ，

∵點(diǎn)M為BE中點(diǎn)，

∴BM= ，

∵∠BMF′=∠BCE，∠MBF′=∠CBE，

∴△BMF′∽△BCE，

∴ ，

∴ ，

∴BF′= ，

∵BF=BC+CF=8，

∴F′F=BF﹣BF′= ，

∴△DCF平移得距離為 ；

提出的問(wèn)題：

如圖，

∵M(jìn)N=BC=b=6，NF=BF′=a=2，

∴FC=BE=F′N(xiāo)=1，

∴EF′=1，

∴EH=F′H= EF′= ，

∵GH∥AB，

∴

∴ ，

∴GH= ，

∴S△GEF′= ×EF′×GH=

（3）當(dāng)a=6，b=2時(shí)，點(diǎn)M，N分別為AD，BC中點(diǎn)，將△MNF沿CB方向移動(dòng)，使點(diǎn)M落在點(diǎn)A處時(shí)，在AB上，AF′交ME于G，求△GEF的面積．
【解析】（1）由正方形的性質(zhì)得結(jié)論判斷出四邊形GFCD為矩形，然后用平行且相等判斷出四邊形AEFD′是平行四邊形；（2）先判斷出△BMF為直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出BE，判斷出△BMF′∽△BCE，用比例式計(jì)算即可．
提出的問(wèn)題：用平移得特征得EH=F′H= EF′= ，在用三角形的面積公式計(jì)算．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的平行四邊形的性質(zhì)和平行四邊形的判定，需要了解平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分；兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形才能得出正確答案．