Question

【題目】已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c．

（1）若a，b，c滿足a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，試判斷△ABC的形狀；

（2）若a=5，b=2，且c為整數(shù)，求△ABC的周長(zhǎng)的最大值及最小值．

Answer 1

【答案】（1）等邊三角形；（2）最大值為13；最小值為11

【解析】

（1）根據(jù)等式的性質(zhì)將等式變形為2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ca，然后再利用完全平方公式進(jìn)行變形，然后直接根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得出c的取值范圍，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解：由題意可知2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ca

∴2a2＋2b2＋2c2-2ab-2bc-2ca=0

又∵

∴

∴，即a=b=c

∴△ABC為等邊三角形

（2）∵a=5，b=2，且c為整數(shù)，

∴5-2＜c＜5+2，即3＜c＜7，

∴c=4，5，6，

∴當(dāng)c=4時(shí)，△ABC周長(zhǎng)的最小值=5+2+4=11；

當(dāng)c=6時(shí)，△ABC周長(zhǎng)的最大值=5+2+6=13．