Question

如圖，M是Rt△ABC的斜邊BC上異于B、C的一定點，過M點作直線MN截△ABC交AC于點N，使截得的△CMN與△ABC相似．已知AB=6，AC=8，CM=4，則CN=

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定

專題：

分析：首先利用勾股定理求出BC的長，過點M作直線與另一邊相交，使所得的三角形與原三角形有一個公共角，只要再作一個直角就可以使得△CMN與△ABC相似，在求出CN的長即可．

解答：解：如圖所示：
∵AB=6，AC=8，∠A=90°，
∴BC=10，
過點M作MN1∥AB，則△CMN₁∽△CAB，
所以CN₁：CA=CM：BC，
即CN₁：8：=4：10，
解得：CN₁=3.2；
以M為頂點作∠CMN₂=∠A=90°，則△CMN₂∽△CBA，
所以CN₂：BC=CM：AC，
即CN₂：10：=4：8，
解得：CN₂=8；
綜上可知當CN=3.2或8時△CMN與△ABC相似，
故答案為：3.2或8．

點評：本題主要考查三角形相似判定定理及其運用．解題時，運用了兩角法（有兩組角對應相等的兩個三角形相似）來判定兩個三角形相似．