Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，BC在x軸上，點A在y軸的正半軸上，點A，D的坐標(biāo)分別為A（0，2），D（2，2），AB=2

2

，連接AC．
（1）求出直線AC的函數(shù)解析式；
（2）求過點A，C，D的拋物線的函數(shù)解析式；
（3）在拋物線上有一點P（m，n）（n＜0），過點P作PM垂直于x軸，垂足為M，連接PC，使以點C，P，M為頂點的三角形與Rt△AOC相似，求出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）先在Rt△ABO中，運用勾股定理求出OB=

AB2-OA2

=

(2 2 )2-22

=2，得出B（-2，0），再根據(jù)等腰梯形的對稱性可得C點坐標(biāo)為（4，0），又A（0，2），利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，將A，C，D三點的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的函數(shù)解析式；
（3）先由點P（m，n）（n＜0）在拋物線y=-

1

4

x²+

1

2

x+2上，得出m＜-2或m＞4，n=-

1

4

m²+

1

2

m+2＜0，于是PM=

1

4

m²-

1

2

m-2．由于∠PMC=∠AOC=90°，所以當(dāng)Rt△PCM與Rt△AOC相似時，有

PM

MC

=

AO

OC

=

1

2

或

PM

MC

=

OC

AO

=2．再分兩種情況進(jìn)行討論：①若m＜-2，則MC=4-m．由

PM

MC

=

AO

OC

=

1

2

，列出方程

1 4 m2- 1 2 m-2

4-m

=

1

2

，解方程求出m的值，得到點P的坐標(biāo)為（-4，-4）；由

PM

MC

=

OC

AO

=2，列出方程

1 4 m2- 1 2 m-2

4-m

=2，解方程求出m的值，得到點P的坐標(biāo)為（-10，-28）；②若m＞4，則MC=m-4．由

PM

MC

=

AO

OC

=

1

2

時，列出方程

1 4 m2- 1 2 m-2

m-4

=

1

2

，解方程求出m的值均不合題意舍去；由

PM

MC

=

OC

AO

=2，列出方程

1 4 m2- 1 2 m-2

m-4

=2，解方程求出m的值，得到點P的坐標(biāo)為（6，-4）．

解答：解：（1）由A（0，2）知OA=2，
在Rt△ABO中，∵∠AOB=90°，AB=2

2

，
∴OB=

AB2-OA2

=

(2 2 )2-22

=2，
∴B（-2，0）．
根據(jù)等腰梯形的對稱性可得C點坐標(biāo)為（4，0）．
設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+n，
則

n=2 4k+n=0

，解得

k=- 1 2 n=2

，
∴直線AC的函數(shù)解析式為y=-

1

2

x+2；

（2）設(shè)過點A，C，D的拋物線的函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，
則

c=2 16a+4b+c=0 4a+2b+c=2

，解得

a=- 1 4 b= 1 2 c=2

，
∴y=-

1

4

x²+

1

2

x+2；

（3）∵點P（m，n）（n＜0）在拋物線y=-

1

4

x²+

1

2

x+2上，
∴m＜-2或m＞4，n=-

1

4

m²+

1

2

m+2＜0，
∴PM=

1

4

m²-

1

2

m-2．
∵Rt△PCM與Rt△AOC相似，
∴

PM

MC

=

AO

OC

=

1

2

或

PM

MC

=

OC

AO

=2．
①若m＜-2，則MC=4-m．
當(dāng)

PM

MC

=

AO

OC

=

1

2

時，

1 4 m2- 1 2 m-2

4-m

=

1

2

，
解得m₁=-4，m₂=4（不合題意舍去），
此時點P的坐標(biāo)為（-4，-4）；
當(dāng)

PM

MC

=

OC

AO

=2時，

1 4 m2- 1 2 m-2

4-m

=2，
解得m₁=-10，m₂=4（不合題意舍去），
此時點P的坐標(biāo)為（-10，-28）；
②若m＞4，則MC=m-4．
當(dāng)

PM

MC

=

AO

OC

=

1

2

時，

1 4 m2- 1 2 m-2

m-4

=

1

2

，
解得m₁=4，m₂=0，均不合題意舍去；
當(dāng)

PM

MC

=

OC

AO

=2時，

1 4 m2- 1 2 m-2

m-4

=2，
解得m₁=6，m₂=4（不合題意舍去），
此時點P的坐標(biāo)為（6，-4）；
綜上所述，所求點P的坐標(biāo)為（-4，-4）或（-10，-28）或（6，-4）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，勾股定理，等腰梯形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，難度適中．利用分類討論、數(shù)形結(jié)合及方程思想是解題的關(guān)鍵．