Question

如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)B開(kāi)始沿折線BC-CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E比動(dòng)點(diǎn)F先出發(fā)1秒，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）點(diǎn)F在邊BC上．
①如圖1，連接DE，AF，若DE⊥AF，求t的值；
②如圖2，連結(jié)EF，DF，當(dāng)t為何值時(shí)，△EBF與△DCF相似？
（2）如圖3，若點(diǎn)G是邊AD的中點(diǎn)，BG，EF相交于點(diǎn)O，試探究：是否存在在某一時(shí)刻t，使得

BO

OG

=

1

6

？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：幾何綜合題

分析：（1）①利用正方形的性質(zhì)及條件，得出△ABF≌△DAE，由AE=BF列式計(jì)算．
②利用△EBF∽△DCF，得出

EB

DC

=

BF

FC

，列出方程求解．
（2）①0＜t≤2時(shí)如圖3，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸建立坐標(biāo)系，先求出EF所在的直線和BG所在的直線函數(shù)關(guān)系式，再利用勾股定理求出BG，運(yùn)用

BO

OG

=

1

6

，求出點(diǎn)O的坐標(biāo)，把O的坐標(biāo)代入EF所在的直線函數(shù)關(guān)系式求解．②當(dāng)t＞2時(shí)如圖4，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸建立坐標(biāo)系，先求出EF所在的直線和BG所在的直線函數(shù)關(guān)系式，再利用勾股定理求出BG，運(yùn)用

BO

OG

=

1

6

，求出點(diǎn)O的坐標(biāo)，把O的坐標(biāo)代入EF所在的直線函數(shù)關(guān)系式求解．

解答：解：（1）①如圖1
∵DE⊥AF，
∴∠AOE=90°，
∴∠BAF+∠AEO=90°，
∵∠ADE+∠AEO=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABF=∠DAE=90°，
在△ABF和△DAE中，

∠BAF=∠ADE AB=AD ∠ABF=∠DAE

，
∴△ABF≌△DAE（ASA）
∴AE=BF，
∴1+t=2t，
解得t=1．
②如圖2，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=4，
∵BF=2t，AE=1+t，
∴FC=4-2t，BE=4-1-t=3-t，
當(dāng)△EBF∽△DCF時(shí)，

EB

DC

=

BF

FC

，
∴

3-t

4

=

2t

4-2t

，
解得，t=

9- 57

2

，t=

9+ 57

2

（舍去），
故t=

9- 57

2

．
當(dāng)△EBF∽△FCD時(shí)，

BE

FC

=

BF

CD

，
∴

3-t

4-2t

=

2t

4

，
∴t²-3t+3=0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
所以當(dāng)t=

9- 57

2

時(shí)，△EBF與△DCF相似；

（2）①0＜t≤2時(shí)，如圖3，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸建立坐標(biāo)系，
A的坐標(biāo)（0，4），G的坐標(biāo)（2，4），F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)（2t，0），E的坐標(biāo)（0，3-t）
EF所在的直線函數(shù)關(guān)系式是：y=

t-3

2t

x+3-t，
BG所在的直線函數(shù)關(guān)系式是：y=2x，
∵BG=

22+42

=2

5

∵

BO

OG

=

1

6

，
∴BO=

2 5

7

，OG=

12 5

7

，
設(shè)O的坐標(biāo)為（a，b），

a2+b2= 20 49 b=2a

解得

a= 2 7 b= 4 7

∴O的坐標(biāo)為（

2

7

，

4

7

）
把O的坐標(biāo)為（

2

7

，

4

7

）代入y=

t-3

2t

x+3-t，得

4

7

=

t-3

2t

×

2

7

+3-t，
解得，t=

9+2 15

7

（舍去），t=

9-2 15

7

，
②當(dāng)3≥t＞2時(shí)如圖4，以點(diǎn)B為原點(diǎn)BC為x軸，BA為y軸建立坐標(biāo)系，
A的坐標(biāo)（0，4），G的坐標(biāo)（2，4），F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)（4，2t-4），E的坐標(biāo)（0，3-t），
EF所在的直線函數(shù)關(guān)系式是：y=

3t-7

4

x+3-t，
BG所在的直線函數(shù)關(guān)系式是：y=2x，
∵BG=

22+42

=2

5

∵

BO

OG

=

1

6

，
∴BO=

2 5

7

，OG=

12 5

7

，
設(shè)O的坐標(biāo)為（a，b），

a2+b2= 20 49 b=2a

解得

a= 2 7 b= 4 7

∴O的坐標(biāo)為（

2

7

，

4

7

）
把O的坐標(biāo)為（

2

7

，

4

7

）代入y=

3t-7

4

x+3-t，得

4

7

=

3t-7

4

×

2

7

+3-t，
解得：t=

27

11

．
綜上所述，存在t=

9-2 15

7

或t=

27

11

，使得

BO

OG

=

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了四邊形的綜合題，解題的關(guān)鍵是把四邊形與坐標(biāo)系相結(jié)合求解．