Question

如圖，過A（1，0）、B（3，0）作x軸的垂線，分別交直線y=4-x于C、D兩點(diǎn)．拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過O、C、D三點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)M為直線OD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N，問是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時(shí)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若△AOC沿CD方向平移（點(diǎn)C在線段CD上，且不與點(diǎn)D重合），在平移的過程中△AOC與△OBD重疊部分的面積記為S，試求S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,平行四邊形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形變化-平移

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題,待定系數(shù)法

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）由題意，可知MN∥AC，因?yàn)橐訟、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則有MN=AC=3．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則求出MN=|

4

3

x²-4x|；解方程|

4

3

x²-4x|=3，求出x的值，即點(diǎn)M橫坐標(biāo)的值；
（3）設(shè)水平方向的平移距離為t（0≤t＜2），利用平移性質(zhì)求出S的表達(dá)式：S=-

1

6

（t-1）²+

1

3

；當(dāng)t=1時(shí)，s有最大值為

1

3

．

解答：解：（1）由題意，可得C（1，3），D（3，1）．
∵拋物線過原點(diǎn)，∴設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx．
∴

a+b=3 9a+3b=1

，
解得

a=- 4 3 b= 13 3

，
∴拋物線的表達(dá)式為：y=-

4

3

x²+

13

3

x．

（2）存在．
設(shè)直線OD解析式為y=kx，將D（3，1）代入，
求得k=

1

3

，
∴直線OD解析式為y=

1

3

x．
設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則M（x，

1

3

x），N（x，-

4

3

x²+

13

3

x），
∴MN=|y_M-y_N|=|

1

3

x-（-

4

3

x²+

13

3

x）|=|

4

3

x²-4x|．
由題意，可知MN∥AC，因?yàn)橐訟、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則有MN=AC=3．
∴|

4

3

x²-4x|=3．
若

4

3

x²-4x=3，整理得：4x²-12x-9=0，
解得：x=

3+3 2

2

或x=

3-3 2

2

；
若

4

3

x²-4x=-3，整理得：4x²-12x+9=0，
解得：x=

3

2

．
∴存在滿足條件的點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：

3

2

或

3+3 2

2

或

3-3 2

2

．

（3）∵C（1，3），D（3，1）
∴易得直線OC的解析式為y=3x，直線OD的解析式為y=

1

3

x．
如解答圖所示，
設(shè)平移中的三角形為△A′O′C′，點(diǎn)C′在線段CD上．
設(shè)O′C′與x軸交于點(diǎn)E，與直線OD交于點(diǎn)P；
設(shè)A′C′與x軸交于點(diǎn)F，與直線OD交于點(diǎn)Q．
設(shè)水平方向的平移距離為t（0≤t＜2），
則圖中AF=t，F(xiàn)（1+t，0），Q（1+t，

1

3

+

1

3

t），C′（1+t，3-t）．
設(shè)直線O′C′的解析式為y=3x+b，
將C′（1+t，3-t）代入得：b=-4t，
∴直線O′C′的解析式為y=3x-4t．
∴E（

4

3

t，0）．
聯(lián)立y=3x-4t與y=

1

3

x，解得x=

3

2

t，
∴P（

3

2

t，

1

2

t）．
過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，則PG=

1

2

t．
∴S=S_△OFQ-S_△OEP=

1

2

OF•FQ-

1

2

OE•PG
=

1

2

（1+t）（

1

3

+

1

3

t）-

1

2

•

4

3

t•

1

2

t
=-

1

6

（t-1）²+

1

3

當(dāng)t=1時(shí)，S有最大值為

1

3

．
∴S的最大值為

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行四邊形、平移變換、圖形面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，有一定的難度．第（2）問中，解題關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形定義，得到MN=AC=3，由此列出方程求解；第（3）問中，解題關(guān)鍵是求出S的表達(dá)式，注意圖形面積的計(jì)算方法．