Question

閱讀資料：小明是一個(gè)愛(ài)動(dòng)腦筋的好學(xué)生，他在學(xué)習(xí)了有關(guān)圓的切線(xiàn)性質(zhì)后，意猶未盡，又查閱到了與圓的切線(xiàn)相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題：
如圖1，已知PC是⊙O的切線(xiàn)，AB是⊙O的直徑，延長(zhǎng)BA交切線(xiàn)PC與P，連接AC、BC、OC．
因?yàn)镻C是⊙O的切線(xiàn)，AB是⊙O的直徑，所以∠OCP=∠ACB=90°，所以∠1=∠2．
又因?yàn)椤螧=∠1，所以∠B=∠2．
在△PAC與△PCB中，又因?yàn)椋骸螾=∠P，所以△PAC∽△PCB，所以

PA

PC

=

PC

PB

，即PC²=PA•PB．
問(wèn)題拓展：
（Ⅰ）如果PB不經(jīng)過(guò)⊙O的圓心O（如圖2）等式PC²=PA•PB，還成立嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
綜合應(yīng)用：
（Ⅱ）如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，PC是⊙O的切線(xiàn)，C是切點(diǎn)，BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交PC于點(diǎn)P；
（1）當(dāng)AB=PA，且PC=12時(shí)，求PA的值；
（2）D是BC的中點(diǎn)，PD交AC于點(diǎn)E．求證：

PC2

PA2

=

CE

AE

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,圓周角定理,切線(xiàn)的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題：壓軸題,閱讀型,數(shù)形結(jié)合

分析：（Ⅰ）證法一：如圖2-1，連接PO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，E，連接BD、AE，易證得△PBD∽△PEA，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得PA•PB=PD•PE，由圖1知，PC ²=PD•PE，即可證得結(jié)論；
證法二：如圖2-2，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的直徑CD，連接AD，BC，AC，由PC是⊙O的切線(xiàn)，易證得△PBC∽△PCA，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論；
（Ⅱ）（1）由（1）得，PC ²=PA•PB，PC=12，AB=PA，即可求得PC ²=PA•PB=PA（PA+AB）=2PA²，繼而求得答案；
（2）證法一：過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC，交PD于點(diǎn)F，由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理即可求得

PB

PA

=

BD

AF

，

CD

AF

=

CE

AE

，又由PC ²=PA•PB，即可證得結(jié)論；
證法二：過(guò)點(diǎn)A作AG∥DP，交BC于點(diǎn)G，由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理即可求得

PB

PA

=

BD

GD

，

CD

DG

=

CE

AE

，又由PC ²=PA•PB，即可證得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)PB不經(jīng)過(guò)⊙O的圓心O時(shí)，等式PC ²=PA•PB仍然成立．
證法一：如圖2-1，連接PO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，E，連接BD、AE，
∴∠B=∠E，∠BPD=∠APE，
∴△PBD∽△PEA，
∴

PD

PA

=

PB

PE

，
即PA•PB=PD•PE，
由圖1知，PC²=PD•PE，
∴PC²=PA•PB．

證法二：如圖2-2，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的直徑CD，連接AD，BC，AC，
∵PC是⊙O的切線(xiàn)，
∴PC⊥CD，
∴∠CAD=∠PCD=90°，
即∠1+∠2=90°，∠D+∠1=90°，
∴∠D=∠2．
∵∠D=∠B，
∴∠B=∠2，
∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCA，
所以

PA

PC

=

PC

PB

，
即PC ²=PA•PB．

（Ⅱ）由（1）得，PC²=PA•PB，PC=12，AB=PA，
∴PC²=PA•PB=PA（PA+AB）=2PA²，
∴2PA²=144，
∴PA=±6

2

（負(fù)值無(wú)意義，舍去）．
∴PA=6

2

．

（2）證法一：過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC，交PD于點(diǎn)F，
∴

PB

PA

=

BD

AF

，

CD

AF

=

CE

AE

．
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
∴

BD

AF

=

CD

AF

，
∴

PB

PA

=

CE

AE

．
∵PC ²=PA•PB，
∴

PC2

PA2

=

PA•PB

PA2

=

PB

PA

=

CE

AE

，
即

PC2

PA2

=

CE

AE

．

證法二：過(guò)點(diǎn)A作AG∥DP，交BC于點(diǎn)G，
∴

PB

PA

=

BD

GD

，

CD

DG

=

CE

AE

．
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
∴

BD

GD

=

CD

DG

，
∴

PB

PA

=

CE

AE

．
∵PC ²=PA•PB，
∴

PC2

PA2

=

PA•PB

PA2

=

PB

PA

=

CE

AE

，
即

PC2

PA2

=

CE

AE

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理等知識(shí)．此題難度較大，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．