Question

已知，如圖，D為△ABC的邊BC的中點(diǎn)，O為AD上的任一點(diǎn)，CD的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)E，BD的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F，求證：EF∥BC．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線分線段成比例

專題：證明題

分析：根據(jù)三角形面積公式易得S_△ABD=S_△ACD，S_△BOD=S_△COD，把它們相減即可得到S_△ABO=S_△ACO，再計(jì)算

AE

BE

=

S△ACE

S△BCE

=

S△AOE

S△BOE

，利用比例的性質(zhì)得

AE

BE

S△AOC

S△BOC

，同理可得

AF

CF

=

S△AOB

S△BOC

，則

AE

BE

=

AF

CF

，然后根據(jù)如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊得到結(jié)論．

解答：證明：∵D為△ABC的邊BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
∴S_△ABD=S_△ACD，S_△BOD=S_△COD，
∴S_△ABO=S_△ACO，
∵

AE

BE

=

S△ACE

S△BCE

=

S△AOE

S△BOE

=

S△ACE-S△AOE

S△BCE-S△BOE

=

S△AOC

S△BOC

，
同理可得

AF

CF

=

S△AOB

S△BOC

，
∴

AE

BE

=

AF

CF

，
∴EF∥BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．