Question

如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，作∠BAD和∠BCD的平分線，分別交BD于點(diǎn)G、H，延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)CH交AD于點(diǎn)F．
（1）求證：△ABG≌△CDH；
（2）若∠BAE=2∠EAC，試判斷四邊形AECF是怎樣的特殊四邊形，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）由在?ABCD中，可得AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠BCD，又由對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，作∠BAD和∠BCD的平分線，分別交BD于點(diǎn)G、H，延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)CH交AD于點(diǎn)F，可得∠BAG=∠DCH，則可證得：△ABG≌△CDH；
（2）易證得△ABE≌△CDF（ASA），繼而可得四邊形AECF是平行四邊形，然后由∠BAE=2∠EAC，可得∠EAC=∠CAF，繼而證得AE=CE，則可得四邊形AECF是菱形．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠BCD，
∴∠ABG=∠CDH，
∵AG，CH分別是∠BAD和∠BCD的平分線，
∴∠BAG=

1

2

∠BAD，∠DCH=

1

2

∠BCD，
∴∠BAG=∠DCH，
在△ABG和△CDH中，

∠BAG=∠DCH AB=CD ∠ABG=∠CDH

，
∴△ABG≌△CDH（ASA）；

（2）四邊形AECF是菱形．
理由：∵AG平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵∠BAE=2∠EAC，
∴∠DAE=2∠EAC，
∴∠EAC=∠FAC，
在△ABE和△CDF中，

∠BAG=∠DCF AB=CD ∠ABE=∠CDF

，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE=DF，
∵?ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∴AF=CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴∠ACE=∠CAF，
∴∠ACE=∠CAE，
∴AE=EC，
∴四邊形AECF是菱形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．