Question

如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，正方形OABC的邊長為2cm，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax²+bx+c經過點A、B，且12a+5c=0．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如果點P由點A開始沿AB邊以2cm/s的速度向點B移動，同時點Q由點B開始沿BC邊以1cm/s的速度向點C移動．
①移動開始后第t秒時，設S=PQ²（cm²），試寫出S與t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍；
②當S取得最小值時，在拋物線上是否存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知條件，結合正方形的性質求出A、B點的坐標，利用一般式根據待定系數法求解．
（2）①用t表示出PB、BQ的長，利用勾股定理建立起它們之間的關系；
②利用①中關系式，根據非負數的性質求出S取最小值時的t的取值，計算出PB、BQ的長，然后根據R的位置進行分類討論．
解答：解：（1）據題意知：A（0，-2），B（2，-2）
∵A點在拋物線上，
∴c=-2
∵12a+5c=0，
∴a=（1分）
由AB=2知拋物線的對稱軸為：x=1
即：-=1，b=-
∴拋物線的解析式為：y=x²-x-2．（3分）

（2）①由圖象知：PB=2-2t，BQ=t，
∴S=PQ²=PB²+BQ²=（2-2t）²+t²（4分）
即S=5t²-8t+4（0≤t≤1）．（5分）
②假設存在點R，可構成以P、B、R、Q為頂點的平行四邊形，
∵S=5t²-8t+4（0≤t≤1），
∴S=5（t）²+（0≤t≤1），
∴當t=時，S取得最小值．（6分）
這時PB=2=0.4，BQ=0.8，P（1.6，-2），Q（2，-1.2）．（7分）
分情況討論：
（A）假設R在BQ的右邊，這時QR=∥PB，則：
R的橫坐標為2.4，R的縱坐標為-1.2，即（2.4，-1.2），
代入y=x²-x-2，左右兩邊相等，
∴這時存在R（2.4，-1.2）滿足題意．（8分）
（B）假設R在BQ的左邊，這時PR=∥QB，
則：R的橫坐標為1.6，縱坐標為-1.2，即（1.6，-1.2）
代入y=x²-x-2，左右兩邊不相等，R不在拋物線上．（9分）
（C）假設R在PB的下方，這時PR=∥QB，
則：R（1.6，-2.8）代入y=x²-x-2，左右不相等，R不在拋物線上．
綜上所述，存在一點R（2.4，-1.2）滿足題意．（10分）
點評：此題主要考查二次函數的有關知識，是一個典型的動點問題．作為一個壓軸題，綜合性強，難度較大，并運用了分類討論思想．