Question

2011年下半年國務(wù)院針對樓市出臺了有關(guān)的新政策，多數(shù)購房者持幣觀望．某樓盤2011年銷售面積y（m²）與月份x（1≤x≤12，且x取正整數(shù)）之間的關(guān)系如下表：

月份x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
銷售面積 y（m2）	2400	1200	800	600	480	400	400	400	400	400	400	400

該樓盤的上半年的銷售額z₁（萬元）與月份x（1≤x≤6，且x取正整數(shù)）之間滿足函數(shù)關(guān)系：z₁=-240x+1440；下半年的銷售額z₂（萬元）與月份x（7≤x≤12，且x取正整數(shù)）之間滿足函數(shù)關(guān)系：z2=-4x2+bx+c，其中第8個月銷售額為184萬元，第10個月銷售額為120萬元．
（1）請觀察題中的表格，用你所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識，求出銷售面積y（m²）與月份x（1≤x≤12，且x取正整數(shù)）之間的函數(shù)關(guān)系式？并直接寫出下半年的銷售額z₂（萬元）與月份x（7≤x≤12，且x取正整數(shù)）之間的函數(shù)關(guān)系式？
（2）設(shè)該樓盤的房價為w（元/m²），求出在2011年該樓盤在第幾個月的房價最高？最高價是多少？
（3）今年1月開始房價上漲，該樓盤的房價比去年的最高房價增加a%，銷售面積與去年12月份持平；2月份的房價比1月份的房價增加1700元，銷售面積比1月份增加0.25a%，2月份的銷售額比去年最高房價時的銷售額至少增加85萬元，求a的最小整數(shù)值？
（參考數(shù)據(jù)：

66

≈8.12，

67

≈8.19，

69

≈8.31）

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：銷售問題,待定系數(shù)法

分析：（1）通過觀察圖象可以得出在1≤x≤6，且x取正整數(shù)時，y與x之間成反比例函數(shù)關(guān)系，在7≤x≤12，且x取正整數(shù)時銷售面積是常數(shù)400，根據(jù)條件運用待定系數(shù)法就可以求出z₂與x之間的關(guān)系式；
（2）根據(jù)單價=銷售額÷銷售面積就可以表示出w，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論表示出今年1月份的房價0.9（1+a%），2月份的房價為0.9（1+a%）+0.17，銷售面積為400（1+0.25a%），從而可以求出2月的銷售額，由（2）求出去年3月的銷售額為-240×3+1440=720萬元，再根據(jù)相等關(guān)系建立方程求出其解即可．

解答：解：（1）由題意得：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為
y=

2400 x (1≤x≤6) 400(7≤x≤12)

，
∵z2=-4x2+bx+c，其中第8個月銷售額為184萬元，第10個月銷售額為120萬元，
∴

184=-4×64+8b+c 120=-4×100+10b+c

，
解得：

b=40 c=120

，
∴銷售額z₂（萬元）與月份x（7≤x≤12，且x取正整數(shù)）之間的函數(shù)關(guān)系式為：
z₂=-4x²+40x+120；
（2）由題意，得，
當(dāng)1≤x≤6，且x取正整數(shù)時，
w₁=

z1

y1

=

-240x+1440

2400 x

，
=-

1

10

（x-3）²+

9

10

，
∵a=-

1

10

＜0，
∴拋物線的開口向下，函數(shù)有最大值，
∴當(dāng)x=3時，w_最大=0.9，
當(dāng)7≤x≤12，且x取正整數(shù)時，
w₂=

z2

y2

=

-4x2+40x+120

400

，
=-

1

100

（x-5）²+

11

20

，
∵a=-

1

100

＜0，
∴拋物線的開口向下，函數(shù)有最大值，
∴拋物線的對稱軸是x=5，在對稱軸的右側(cè)w隨x的增大而減小，
∵7≤x≤12，且x取正整數(shù)，
∴x=7時，w_最大=0.51萬元，
綜上所述，第3個月時，房價最高，最高房價為0.9萬元/平方米；
（3）由題意，得
今年1月份的房價為：0.9（1+a%）萬元，
今年2月份的房價為：0.9（1+a%）+0.17，
今年2月份的銷售面積為：400（1+0.25a%），
去年3月的銷售額為：-240×3+1440=720萬元，
∴[0.9（1+a%）+0.17]•400（1+0.25a%）-720=85，
設(shè)a%=m，則
∴[0.9（1+m）+0.17]•400（1+0.25m）-720=85，
整理得：90m²+467m-377=0
m=

-467± 4672-4×90×(-377)

180

=

-467± 353809

180

=

-467±594.818

180

解得：m₁=0.71，m₂=-5.899（舍去），
∴0.71=a%，且a為整數(shù)，
∴a=71．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的運用，二次函數(shù)的性質(zhì)的運用，一元二次方程的解法的運用，解答時求出相應(yīng)的解析式是解答本題的關(guān)鍵，根據(jù)解析式建立一元二次方程求出其a的值是難點．