【題目】如圖,已知矩形的邊,,點(diǎn)、分別是、邊上的動點(diǎn).
(1)連接、,以為直徑的交于點(diǎn).
①若點(diǎn)恰好是的中點(diǎn),則與的數(shù)量關(guān)系是______;
②若,求的長;
(2)已知,,是以為弦的圓.
①若圓心恰好在邊的延長線上,求的半徑:
②若與矩形的一邊相切,求的半徑.
【答案】(1)①;②1.5;(2)①5;②、,、5.
【解析】
(1)①根據(jù)直徑所對的圓周角是直角判斷△APQ為等腰三角形,結(jié)合等腰三角形的兩底角相等和圓周角定理證明;②證明△PBQ∽△QBA,由對應(yīng)邊成比例求解;
(2)①畫出圖形,由勾股定理列方程求解;②分與矩形的四邊分別相切,畫出圖形,利用切線性質(zhì),由勾股定理列方程求解.
解:(1)①如圖,PQ是直徑,E在圓上,
∴∠PEQ=90°,
∴PE⊥AQ,
∵AE=EQ,
∴PA=PQ,
∴∠PAQ=∠PQA,
∴∠QPB=∠PAQ+∠PQA=2∠AQP,
∵∠QPB=2∠AQP.
\
②解:如圖,∵BE=BQ=3,
∴∠BEQ=∠BQE,
∵∠BEQ=∠BPQ,
∵∠PBQ=∠QBA,
∴△PBQ∽△QBA,
∴ ,
∴,
∴BP=1.5;
(2)①如圖, BP=3,BQ=1,設(shè)半徑OP=r,
在Rt△OPB中,根據(jù)勾股定理得,PB2+OB2=OP2
∴32+(r-1)2=r2,
∴r=5,
∴的半徑是5.
②如圖,與矩形的一邊相切有4種情況,
如圖1,當(dāng)與矩形ABCD邊BC相切于點(diǎn)Q,過O作OK⊥AB于K,則四邊形OKBQ為矩形,
設(shè)OP=OQ=r,則PK=3x,
由勾股定理得,r2=12+(3-r)2,
解得,r=,
∴半徑為.
如圖2,當(dāng)與矩形ABCD邊AD相切于點(diǎn)N,延長NO交BC于L,則OL⊥BC,過P作PS⊥NL于S,
設(shè)OS=x,則ON=OP=OQ=3+x,設(shè)PS=BL=y,
由勾股定理得, ,
解得 (舍去),,
∴ON=,
∴半徑為.
如圖3,當(dāng)與矩形ABCD邊CD相切于點(diǎn)M,延長MO交AB于R,則OR⊥AB,過O作OH⊥BC于H,
設(shè)OH=BR=x,設(shè)HQ=y, 則OM=OP=OQ=4-1-y=3-y,
由勾股定理得, ,
解得 (舍去),,
∴OM=,
∴半徑為.
如圖4,當(dāng)與矩形ABCD邊AB相切于點(diǎn)P,過O作OG⊥BC于G,則四邊形AFCG為矩形,
設(shè)OF=CG=x,,則OP=OQ=x+4,
由勾股定理得(x+4)2=32+(x+3)2,
解得,x=1,
∴OP=5,
∴半徑為5.
綜上所述,若與矩形的一邊相切,為的半徑,,,5.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC.點(diǎn)D是線段AC上一點(diǎn),連接BD.過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E.點(diǎn)F是AB垂直平分線上一點(diǎn),連接BF、EF.
(1)若AD=4,tan∠BCE=,求AB的長;
(2)當(dāng)點(diǎn)F在AC邊上時,求證:∠FEC=45°.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)中,把矩形OABC沿對角線OB所在的直線折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)D處,OD與BC交于點(diǎn)E.OA、OC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣9x+18=0的兩個根(OA>OC).
(1)求A、C的坐標(biāo).
(2)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo),并求出過點(diǎn)A、E的直線函數(shù)關(guān)系式.
(3)點(diǎn)F是x軸上一點(diǎn),在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)O、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在請直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)(、為常數(shù))的圖像經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn).
(1)求、的值;
(2)如圖1,點(diǎn)在拋物線上,點(diǎn)是軸上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)平行于軸的直線平分,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖2,在(2)的條件下,點(diǎn)是拋物線上的一動點(diǎn),以為圓心、為半徑的圓與軸相交于、兩點(diǎn),若的面積為,請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年12月17日,我國第一艘國產(chǎn)航母“山東艦”在海南三亞交付海軍.如圖,“山東艦”在一次試水測試中,航行至處,觀測指揮塔位于南偏西方向,在沿正南方向以30海里/小時的速度勻速航行2小時后,到達(dá)處,再觀測指揮塔位于南偏西方向,若繼續(xù)向南航行.求“山東艦”與指揮塔之間的最近距離為多少海里?(結(jié)果保留根號)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0)和C(0,3).(1)求拋物線的解析式;(2)在拋物線的對稱軸上,是否存在點(diǎn)P,使PA+PC的值最。咳绻嬖,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo),如果不存在,請說明理由;(3)設(shè)點(diǎn)M在拋物線的對稱軸上,當(dāng)△MAC是直角三角形時,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為AB的中點(diǎn),連接CD,點(diǎn)O是CD的中點(diǎn),到點(diǎn)O的距離等于OC的所有點(diǎn)組成圖形M,圖形M分別交AC,BC于點(diǎn)E,F兩點(diǎn),過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G.
(1)試判斷FG與圖形M的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若AC=3,∠B=30°,求FG的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解朝陽社區(qū)歲居民最喜歡的支付方式,某興趣小組對社區(qū)內(nèi)該年齡段的部分居民展開了隨機(jī)問卷調(diào)查(每人只能選擇其中一項(xiàng)),并將調(diào)查數(shù)據(jù)整理后繪成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)求參與問卷調(diào)查的總?cè)藬?shù).
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(3)該社區(qū)中歲的居民約8000人,估算這些人中最喜歡微信支付方式的人數(shù).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的半徑為,A、B為⊙O上兩點(diǎn),C為⊙O內(nèi)一點(diǎn),AC⊥BC,AC=,BC=.
(1)判斷點(diǎn)O、C、B的位置關(guān)系;
(2)求圖中陰影部分的面積.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com