Question

【題目】如圖，拋物線C1：y=ax2+bx+4與x軸交于A（﹣3，0），B兩點，與y軸交于點C，點M（﹣ ，5）是拋物線C1上一點，拋物線C2與拋物線C1關于y軸對稱，點A、B、M關于y軸的對稱點分別為點A′、B′、M′．

（1）求拋物線C1的解析式；
（2）過點M′作M′E⊥x軸于點E，交直線A′C于點D，在x軸上是否存在點P，使得以A′、D、P為頂點的三角形與△AB′C相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（﹣3，0），M（﹣ ，5）代入y=ax2+bx+4得，

，解得 ，

所以拋物線C1的解析式為y=﹣ x2﹣ x+4

（2）解：令y=0，則﹣ x2﹣ x+4=0，

解得x1=﹣3，x2=1，

∴B（1，0），

令x=0，則y=4，∴C（0，4）．

由題意，知M′（ ，5），B′（﹣1，0），A′（3，0），∠CAA′=∠CA′A，

∴AB′=2．

設直線A′C的解析式為y=px+q．

把A′（3，0），C（0，4）代入，

得 ，解得 ，

∴y=﹣ x+4，

當x= 時，y=﹣ × +4=2，∴D（ ，2）．

由勾股定理得，AC= =5，DA′= = ．

設P（m，0）．

當m＜3時，此時點P在點A′的左邊，

若 = ，即有△DA′P∽△CAB′，

∴ = （3﹣m），解得m=2，

∴P（2，0）．

若 = ，即有△DA′P∽△B′AC，

∴ = （3﹣m），解得m=﹣ ，

∴P（﹣ ，0）．

當m＞3時，此時點P在點A′的右邊，

∵∠CB′O≠∠DA′E，

∴∠AB′C≠∠DA′P，

∴此情況，△DA′P與△B′AC不能相似．

綜上所述，存在點P（2，0）或（﹣ ，0）滿足條件．

【解析】（1）利用待定系數法，把A、M坐標代入即可；（2） 由已知條件先求出AB′=2，AC=5，再求出△DA′P中的DA′=2.5，然后分類討論：△DA′P∽△CAB′或△DA′P∽△B′AC，由對應邊成比例列出方程，求出P坐標.