Question

如圖，拋物線y=－x2+x－2交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側），交y軸于點C，分別過點B，C作y軸，x軸的平行線，兩平行線交于點D，將△BDC繞點C逆時針旋轉，使點D旋轉到y(tǒng)軸上得到△FEC，連接BF．

（1）求點B，C所在直線的函數(shù)解析式；

（2）求△BCF的面積；

（3）在線段BC上是否存在點P，使得以點P，A，B為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）直線BC的解析式為y=x﹣3；

（2）△BCF的面積為10；

（3）在線段BC上存在點P，使得以點P，A，B為頂點的三角形與△BOC相似， P點坐標為（2，﹣1）或（，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)坐標軸上點的坐標特征可得點B，C的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法可得點B，C所在直線的函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)勾股定理可得BC的長，根據(jù)旋轉的性質和三角形面積公式即可求解；

（3）存在．分兩種情況討論：①過A作AP1⊥x軸交線段BC于點P1，則△BAP1∽△BOC；②過A作AP2⊥BC，垂足點P2，過點P2作P2Q⊥x軸于點Q．則△BAP2∽△BCO；依此討論即可求解．

試題解析：（1）當y=0時，﹣x2+x﹣2=0，

解得x1=2，x2=4，

∴點A，B的坐標分別為（2，0），（4，0），

當x=0時，y=﹣2，

∴C點的坐標分別為（0，﹣2），

設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），則，

解得．

∴直線BC的解析式為y=x﹣3；

（2）∵CD∥x軸，BD∥y軸，

∴∠ECD=90°，

∵點B，C的坐標分別為（4，0），（0，﹣2），

∴BC==2，

∵△FEC是由△BDC繞點C逆時針旋轉得到，

∴△BCF的面積=BC•FC=×2×2=10；

（3）存在．分兩種情況討論：

①過A作AP1⊥x軸交線段BC于點P1，則△BAP1∽△BOC，

∵點A的坐標為（2，0），

∴點P1的橫坐標是2，

∵點P1在點BC所在直線上，

∴y=x﹣2=×2﹣2=﹣1，

∴點P1的坐標為（2，﹣1）；

②過A作AP2⊥BC，垂足點P2，過點P2作P2Q⊥x軸于點Q．

∴△BAP2∽△BCO，

∴,

∴，

解得AP2=，

∵，

∴AP2•BP=CO•BP2，

∴×4=2BP2，

解得BP2=，

∵AB•QP2=AP2•BP2，

∴2QP2=×，

解得QP2=，

∴點P2的縱坐標是﹣，

∵點P2在BC所在直線上，

∴x=，

∴點P2的坐標為（，﹣），

∴滿足條件的P點坐標為（2，﹣1）或（，﹣）．

考點：二次函數(shù)綜合題．