Question

（10分）在□ABOC中，AO⊥BO，且AO＝BO．以AO、BO所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知B（－6，0），直線過點(diǎn)C且與x軸交于點(diǎn)D．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)E為y軸正半軸上一點(diǎn)，當(dāng)∠BED＝45°時，求直線EC的解析式；

（3）在（2）的條件下，設(shè)直線EC與x軸交于點(diǎn)F，ED與AC交于點(diǎn)G．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿折線OF－FE運(yùn)動，在OF上的速度是每秒2個單位，在FE上的速度是每秒個單位．在運(yùn)動過程中直線PA交BE于H，設(shè)運(yùn)動時間為t．當(dāng)以E、H、A為頂點(diǎn)的三角形與△EGC相似時，求t的值．

 

Answer 1

（1）D(4，0)；（2）；（3）或．

【解析】

試題分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，把C的坐標(biāo)代入，可求出直線CD的解析式，從而求出D的坐標(biāo)；

（2）求出直線ED和OC的交點(diǎn)M，可得到M為等腰直角三角形OAC的中點(diǎn)，連結(jié)AM，算出AB，AM的長，通過△BAE∽△EAM，求出AE的長，進(jìn)而求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，再求出直線EC的解析式；

（3）分兩種情況：①P在OF上運(yùn)動，容易求出∠HEA=∠GEC，要使△EHA與△EGC相似，只要∠HAE=∠GCE=45°即可，當(dāng)∠HAE=45°時，有∠OAP=∠HAE=45°，得到△AOP為等腰直角三角形，從而求出t的值；

②P在EF上運(yùn)動，容易求出∠HEA=∠GEC，要使△EHA與△EGC相似，只要∠AHE=∠GCE=45°即可，當(dāng)∠AHE =45°時，由∠HEI=45°，得到∠HIE=90°，故AP⊥ED，求出直線AP的解析式，再求出直線AP與EF得交點(diǎn)P的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間的距離公式算出EP的長，從而得出PF的長，分別算出P在OF上運(yùn)動的時間與P在FE上運(yùn)動的時間，兩者相加，得到t的值．

試題解析：（1）∵B（－6，0），∴OB=6，∵AO＝BO，∴AO=6，∵□ABOC，∴AC=BO=6，∴C（6，6），

∵直線過點(diǎn)C，∴，∴，∴直線CD的解析式為：，在中，令，解得：，∴D(4，0)；

（2）如圖：設(shè)直線ED交OC于M，連結(jié)AM，BE．

設(shè)直線ED為，∵E(0，12)，D（4，0），∴，解得：，∴直線ED的解析式為：，顯然直線OC的解析式為：，由：，解得：，∴M（3，3），∴M為OC的中點(diǎn)，∵AO=AC，∴AM⊥OC，∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠BAO=45°，∴∠BAE=135°，

∵ABOC是平行四邊形，∴AC∥BO，OC∥AB，∴∠OAC=90°，∠COA=∠BAO=45°，∴△AMO為等腰直角三角形，∴∠OAM=45°，∴∠EAM=135°，∴∠BAE=∠EAM，∵OA=6，∴AM=，∵OA=OB=6，∴AB=，∵∠BEA+∠AEM=∠BEA+∠EBA=45°，∴∠ABE=∠AEM，∵∠BAE=∠EAM，∴△BAE∽△EAM，

∴BA：EA=AE：AM，∴AE•AE=，∴AE=6，∴OE=12，∴E(0，12)，設(shè)直線EC的解析式為，則：，∴，∴直線EC的解析式為：；

（3）分兩種情況：①當(dāng)P在OF上運(yùn)動時，如圖，

∵直線EC的解析式為：，令，得：，∴OF=OE=12，∴∠OFE=45°，∵AC∥OB，∴∠ACE=∠OFE=45°，∴∠CEG+∠AEG=45°，∵∠BAD=45°，∴∠HEA=∠GEC，要使△EHA與△EGC相似，只要∠HAE=∠GCE=45°即可．當(dāng)∠HAE=45°時，∠OAP=∠HAE=45°，∴△AOP為等腰直角三角形，∴OP=OA=6，；

②當(dāng)P在EF上運(yùn)動時，如圖，由①可知，△EHA與△EGC中，∠HEA=∠GEC，∠GCE=45°，∴只需要∠EHA=45°即可．當(dāng)∠EHA=45°時，∵∠HEI=45°，∴∠HIE=90°，∵AP⊥ED，∴直線AP的解析式為：，把A(0，6)代入，得：，∴直線AP的解析式為：，聯(lián)立方程：，解得：，∴P（4，5，7.5），∴EP=，∵EF=OE= ，∴FP=，∴點(diǎn)P從O到P所用的時間=．

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題．