Question

如圖，已知一次函數(shù)y=

4

3

x+m的圖象與x軸交于點A（-6，0），交y軸于點B．
（1）求m的值與點B的坐標；
（2）問在x軸上是否存在點C，使得△ABC的面積為16？若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由；
（3）一條經(jīng)過點D（0，2）和直線AB上的一點的直線將△AOB分成面積相等的兩部分，請求出這條直線的函數(shù)表達式．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）將A坐標代入一次函數(shù)解析式求出m的值，確定出一次函數(shù)解析式，令x=0求出y的值，即可確定出B的坐標；
（2）存在，理由為；設C（c，0），表示出OC長，根據(jù)A坐標表示出AC的長，由三角形ABC面積以AC為底，OB為高，根據(jù)已知面積求出AC的長，確定出C坐標即可；
（3）設過D的直線與直線AB交于點E，過點E作EF⊥y軸，交y軸于點F，求出三角形AOB面積，由直線DE將三角形AOB面積分為相等的兩部分，得到三角形BDE面積為三角形AOB面積的一半，求出EF的長，確定出E橫坐標，代入一次函數(shù)解析式求出縱坐標，確定出E坐標，設直線DE解析式為y=dx+e，將E與D坐標代入求出d與e的值，即可確定出直線DE解析式．

解答：解：（1）將A（-6，0）代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)=

4

3

x+m得：0=-8+m，
解得m=8，
故一次函數(shù)解析式為y=

4

3

x+8，
令x=0，得到y(tǒng)=8，
則m=8，
B（0，8）；
（2）存在，理由為：
設C（c，0），即OC=|c|，
∵A（-6，0），
∴AC=|-6-c|，
∵S_△ABC=16，即

1

2

AC•OB=16，
∴

1

2

|-6-c|•8=16，即|-6-c|=4，
整理得：-6-c=4或-6-c=-4，
解得：c=-2或c=-10，
則C點坐標為（-10，0）或（-2，0）；
（3）設過D的直線與直線AB交于點E，過點E作EF⊥y軸，交y軸于點F，
∵S_△AOB=

1

2

OA•OB=24，直線DE將△AOB分成面積相等的兩部分，
∴S_△BED=

1

2

S_△ABC=12，即

1

2

BD•EF=12，
∵BD=OB-OD=8-2=6，
∴EF=4，
將x=-4代入y=

4

3

x+8中，得：y=

8

3

，
∴E（-4，

8

3

），
設直線DE解析式為y=dx+e，
將D（0，2）和E（-4，

8

3

）代入得：

e=2 -4d+e= 8 3

，
解得：

d=- 1 6 e=2

．
則直線DE解析式為y=-

1

6

x+2．

點評：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標軸的交點，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．