Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5 cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4 cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2），連接PQ.
（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；
（2）連接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）試證明：PQ的中點(diǎn)在△ABC的一條中位線上.

Answer 1

（1）t=1或；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.

試題分析：（1）分兩種情況討論：①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)， ，當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)， ，再根據(jù)BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入計(jì)算即可.
（2）過(guò)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，AQ，CP交于點(diǎn)N，則有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根據(jù)△ACQ∽△CMP，得出 ，代入計(jì)算即可.
（3）過(guò)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，連接DQ，BD，BD交PQ于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作EF∥AC分別交BC，BA于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，
證明四邊形PDQB是平行四邊形，則點(diǎn)M是PQ和BD的中點(diǎn)，進(jìn)而由得到點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，由得到點(diǎn)F為BA的中點(diǎn)，因此，PQ中點(diǎn)在△ABC的中位線上.
試題解析：（1）①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，
∵ ，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，∴，解得t=1；
②當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，∵，∴ ，解得.
∴t=1或時(shí)，△BPQ與△ABC相似.
（2）如答圖，過(guò)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，AQ，CP交于點(diǎn)N，則有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，
∴△ACQ∽△CMP.∴.∴ ，解得：.

（3）如答圖，過(guò)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，連接DQ，BD，BD交PQ于點(diǎn)M，
則，
∵，∴PD=BQ且PD∥BQ.∴四邊形PDQB是平行四邊形.∴點(diǎn)M是PQ和BD的中點(diǎn).
過(guò)點(diǎn)M作EF∥AC分別交BC，BA于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，
則，即點(diǎn)E為BC的中點(diǎn).
同理，點(diǎn)F為BA的中點(diǎn).
∴PQ中點(diǎn)在△ABC的中位線上.