Question

如圖，已知△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，BD∥AC，∠D=30°，若把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0＜α＜90°），使它與原△ABC的重疊部分為等腰三角形，則α為（　�。�

• A、15°或30°
• B、30°或45°
• C、15°或45°
• D、30°或60°

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：由∠BAC=90°，AB=AC可判斷△ABC為等腰直角三角形，則∠ABC=∠ACB=45°，再由BD∥AC得∠ABD=∠BAC=90°，則利用互余可計(jì)算出∠BAD=60°，由于把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0＜α＜90°），使它與原△ABC的重疊部分為等腰三角形，而等腰三角形的腰不能確定，所以分類討論：當(dāng)AE=AF時(shí)，如圖1，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BAB′=α，∠B′AD=60°，可判斷△AEF為等邊三角形，得到∠1=∠2=60°，則可根據(jù)三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出∠BAB′=∠1-∠ABC=15°，即α=15°；當(dāng)AFA=FC時(shí)，如圖2，∠BAB′=α，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠ACB=∠FAC=45°，所以∠BAB′=45°，即α=45°，由此得到α的值為15°或45°．

解答：解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵BD∥AC，
∴∠ABD=∠BAC=90°，
∵∠D=30°，
∴∠BAD=60°，
把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0＜α＜90°），使它與原△ABC的重疊部分為等腰三角形，
當(dāng)AE=AF時(shí)，如圖1，則∠BAB′=α，∠B′AD=60°，
∴△AEF為等邊三角形，
∴∠1=∠2=60°，
而∠1=∠B+∠BAB′，
∴∠BAB′=60°-45°=15°，
即α=15°；
當(dāng)AFA=FC時(shí)，如圖2，則∠BAB′=α，
∵∠ACB=45°，
∴∠FAC=45°，
∴∠BAB′=90°-45°=45°，
即α=45°；
綜上所述，α的值為15°或45°．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．