Question

已知等腰△ABC中，AB=AC，D為AB邊上一點，且AD=CD=BC，I為△ACD內切圓的圓心，則∠ABI的度數(shù)為

 

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Answer 1

考點：三角形的內切圓與內心

專題：

分析：由AB=AC，AD=CD=BC，根據(jù)等角對等邊的知識，可得∠BAC=∠ACD，∠ABC=∠ACB=∠CDB，設∠BAC=x°，根據(jù)等腰三角形的性質得出∠ACD=x°，∠ABC=∠ACB=∠CDB=2x°，然后根據(jù)三角形內角和定理得出關于x的方程，解方程即可求得∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)I為△ACD內切圓的圓心，即可求出∠ABI的度數(shù)．

解答：解：∵AB=AC，AD=CD=BC，
∴∠BAC=∠ACD，∠B=∠ACB=∠CDB，
設∠BAC=x°，則∠ACD=∠BAC=x°，
∴∠ABC=∠ACB=∠CDB=∠BAC+∠ACD=2x°
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴x+2x+2x=180，
∴x=36，
∴∠BAC=36°，
∴∠ABC∠ACB=72°，
∵I為△ACD內切圓的圓心，
∴∠ABI=36°，
故答案為36°．

點評：本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點．