【題目】如圖1,在正方形ABCD中,點E、F分別在邊BC,CD上,且BE=DF,點PAF的中點,點Q是直線ACEF的交點,連接PQ,PD.

(1)求證:AC垂直平分EF;

(2)試判斷PDQ的形狀,并加以證明;

(3)如圖2,若將CEF繞著點C旋轉180°,其余條件不變,則(2)中的結論還成立嗎?若成立,請加以證明;若不成立,請說明理由.

【答案】(1)證明見解析;(2)PDQ是等腰直角三角形;理由見解析(3)成立;理由見解析.

【解析】試題(1)由正方形的性質得出AB=BC=CD=AD∠B=∠ADF=90°,∠BCA=∠DCA=45°,由BE=DF,得出CE=CF,△CEF是等腰直角三角形,即可得出結論;

2)由直角三角形斜邊上的中線的性質得出PD=AF,PQ=AF,得出PD=PQ,再證明∠DPQ=90°,即可得出結論;

3)由直角三角形斜邊上的中線的性質得出PD=AF,PQ=AF,得出PD=PQ,再證明點A、F、QP四點共圓,由圓周角定理得出∠DPQ=2∠DAQ=90°,即可得出結論.

試題解析:(1)證明:四邊形ABCD是正方形,

∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠ADF=90°∠BCA=∠DCA=45°,

∵BE=DF,

∴CE=CF,

∴AC垂直平分EF;

2)解:△PDQ是等腰直角三角形;理由如下:

PAF的中點,∠ADF=90°,

∴PD=AF=PA,

∴∠DAP=∠ADP,

∵AC垂直平分EF,

∴∠AQF=90°,

∴PQ=AF=PA,

∴∠PAQ=∠AQPPD=PQ,

∵∠DPF=∠PAD+∠ADP∠QPF=∠PAQ+∠AQP,

∴∠DPQ=2∠PAD+2∠PAQ=2∠PAD+∠PAQ=2×45°=90°,

∴△PDQ是等腰直角三角形;

3)成立;理由如下:

PAF的中點,∠ADF=90°,

∴PD=AF=PA,

∵BE=DF,BC=CD,∠FCQ=∠ACD=45°∠ECQ=∠ACB=45°,

∴CE=CF,∠FCQ=∠ECQ

∴CQ⊥EF,∠AQF=90°,

∴PQ=AF=AP=PF

∴PD=PQ=AP=PF,

AF、Q、P四點共圓,

∴∠DPQ=2∠DAQ=90°,

∴△PDQ是等腰直角三角形.

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