Question

如圖，已知點A是雙曲線y=

2

x

在第一象限的分支上的一個動點，連結(jié)AO并延長交另一分支于點B，以AB為邊作等邊△ABC，點C在第四象限．隨著點A的運動，點C的位置也不斷變化，但點C始終在雙曲線y=

k

x

（k＜0）上運動，則k的值是

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,等邊三角形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),特殊角的三角函數(shù)值

專題：動點型

分析：連接OC，易證AO⊥OC，OC=

3

OA．由∠AOC=90°想到構(gòu)造K型相似，過點A作AE⊥y軸，垂足為E，過點C作CF⊥y軸，垂足為F，可證△AEO∽△OFC．從而得到OF=

3

AE，F(xiàn)C=

3

EO..設(shè)點A坐標(biāo)為（a，b）則ab=2，可得FC•OF=6．設(shè)點C坐標(biāo)為（x，y），從而有FC•OF=-xy=-6，即k=xy=-6．

解答：解：∵雙曲線y=

2

x

關(guān)于原點對稱，
∴點A與點B關(guān)于原點對稱．
∴OA=OB．
連接OC，如圖所示．
∵△ABC是等邊三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB．∠BAC=60°．
∴tan∠OAC=

OC

OA

=

3

．
∴OC=

3

OA．
過點A作AE⊥y軸，垂足為E，
過點C作CF⊥y軸，垂足為F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°-∠FOC=∠OCF．
∴△AEO∽△OFC．
∴

AE

OF

=

EO

FC

=

AO

OC

．
∵OC=

3

OA，
∴OF=

3

AE，F(xiàn)C=

3

EO．
設(shè)點A坐標(biāo)為（a，b），
∵點A在第一象限，
∴AE=a，OE=b．
∴OF=

3

AE=

3

a，F(xiàn)C=

3

EO=

3

b．
∵點A在雙曲線y=

2

x

上，
∴ab=2．
∴FC•OF=

3

b•

3

a=3ab=6
設(shè)點C坐標(biāo)為（x，y），
∵點C在第四象限，
∴FC=x，OF=-y．
∴FC•OF=x•（-y）=-xy
=6．
∴xy=-6．
∵點C在雙曲線y=

k

x

上，
∴k=xy=-6．
故答案為：-6．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、點與坐標(biāo)之間的關(guān)系、特殊角的三角函數(shù)值等知識，有一定的難度．由∠AOC=90°聯(lián)想到構(gòu)造K型相似是解答本題的關(guān)鍵．