Question

已知拋物線與x軸交于m（-1，0），n（3，0），頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-8，用三種方法求二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：計(jì)算題

分析：第一種方法：設(shè)交點(diǎn)式得到y(tǒng)=a（x+1）（x-3），再配成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-1）²-4a，然后根據(jù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-8求出a即可；
第二種方法：設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），利用拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x=1，則拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-8），然后把（1，-8）代入所設(shè)解析式求出a即可；
第三種方法：利用拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x=1，則拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-8），則可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-1）²-8，然后把（-1，0）代入求出a即可．

解答：解：方法一：設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3）=a（x-1）²-4a，
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4a），則-4a=-8，解得a=2，
所以拋物線解析式為y=2（x+1）（x-3）=2x²-4x-6；
方法二：∵拋物線與x軸交于m（-1，0），n（3，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-8），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
把（1，-8）代入得a•（1+1）（1-3）=-8，解得a=2，
∴拋物線解析式為y=2（x+1）（x-3）=2x²-4x-6；
方法三：∵拋物線與x軸交于m（-1，0），n（3，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-8），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²-8，
把（-1，0）代入得a•（-1-1）²-8=0，解得a=2，
∴拋物線解析式為y=2（x-1）²-8．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．