【題目】如圖甲,在△ABC中,∠ACB為銳角.點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作等腰直角三角形ADE,AD=AE,∠DAE=90.解答下列問題:
(1) 如果AB=AC,∠BAC=90.
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)B不重合),如圖乙,線段CE、BD之間的位置關(guān)系為,數(shù)量關(guān)系為.(不用證明)
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖丙,①中的結(jié)論是否仍然成立,為什么?
(2) 如果AB≠AC,∠BAC≠90,點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng).
試探究:當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí),CE⊥BD(點(diǎn)C、E重合除外)?畫出相應(yīng)的圖形,并說明理由.
【答案】見解析
【解析】試題分析:(1)①根據(jù)∠BAD=∠CAE,BA=CA,AD=AE,運(yùn)用“SAS”證明△ABD≌△ACE,根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等,即可得到線段CE、BD之間的關(guān)系;②先根據(jù)“SAS”證明△ABD≌△ACE,再根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等,即可得到①中的結(jié)論仍然成立;
(2)先過點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G,畫出符合要求的圖形,再結(jié)合圖形判定△GAD≌△CAE,得出對(duì)應(yīng)角相等,即可得出結(jié)論.
試題解析:(1)①CE與BD位置關(guān)系是CE⊥BD,數(shù)量關(guān)系是CE=BD.
理由:如圖乙,
∵∠BAD=90°∠DAC,∠CAE=90°∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE.
又BA=CA,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴∠ACE=∠B=45°且CE=BD.
∵∠ACB=∠B=45°,
∴∠ECB=45°+45°=90°,即CE⊥BD.
故答案為:CE⊥BD;CE=BD.
②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),①的結(jié)論仍成立.
如圖丙,
∵∠DAE=90°,∠BAC=90°,
∴∠DAE=∠BAC,
∴∠DAB=∠EAC,
又AB=AC,AD=AE,
∴△DAB≌△EAC,
∴CE=BD,且∠ACE=∠ABD.
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=45°,
∴∠ACE=45°,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,
即CE⊥BD;
(2)如圖丁所示,當(dāng)∠BCA=45°時(shí),CE⊥BD.
理由:過點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G,
∴AC=AG,∠AGC=45°,
即△ACG是等腰直角三角形,
∵∠GAD+∠DAC=90°=∠CAE+∠DAC,
∴∠GAD=∠CAE,
又∵DA=EA,
∴△GAD≌△CAE,
∴∠ACE=∠AGD=45°,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,
即CE⊥BD.
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【題目】觀察下列等式:
第一個(gè)等式:
第二個(gè)等式:
第三個(gè)等式:
第四個(gè)等式:
則式子__________________;
用含n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式: ____________________________;
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【題目】已知:如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90°
(1)按要求作圖:(保留作圖痕跡)
①延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D,使CD=BC;
②延長(zhǎng)CA到點(diǎn)E,使AE=2CA;
③連接AD,BE并猜想線段 AD與BE的大小關(guān)系;
(2)證明(1)中你對(duì)線段AD與BE大小關(guān)系的猜想.
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【題目】如圖,在五邊形ABCDE中,AB=AC=AD=AE, 且AB∥ED,∠AED=70°,則∠DCB=( )
A. 70° B. 165° C. 155° D. 145°
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【題目】計(jì)算:a2(b1) 2結(jié)果正確的是( )
A.a2b22b+1B.a2b22b1
C.a2b2+2b1D.a2b2+2b+1
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【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC邊上的中線,過點(diǎn)C作CF⊥AE,垂足為F,過B作BD⊥BC交CF的延長(zhǎng)線于D;若AC=12cm,求BD的長(zhǎng);
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