Question

如圖，正方形ABCD中，E、F分別為邊BC、DC上的點(diǎn)，且BE=FD，連接AE，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AE，交AB于點(diǎn)G，連接CH．
（1）若DF=2，tan∠EAB=

1

3

，求AE的值．
（2）求證：EH+FH=

2

CH．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：幾何圖形問(wèn)題

分析：（1）由條件BE=DF可知BE=2，又因?yàn)閠an∠EAB=

1

3

，所以AB=6，由勾股定理即可求出AE的長(zhǎng)；
（2）延長(zhǎng)AE到Q，使EQ=FH，連接DQ，證△DFH≌△DEQ，推出DQ=DH，∠QDE=∠FDH，求出∠QDH=∠QDE+∠EDH=∠ADC=90°，得出△DQH是等腰直角三角形，由勾股定理得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵DF=2，BE=DF，
∴BE=2，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∵tan∠EAB=

1

3

，
∴AB=6，
∴AE=

22+62

=2

10

；

（2）證明：延長(zhǎng)AE到Q，使EQ=FH，連接BQ，DH，
∵DC∥AB，
∴∠FGA=∠CFH，
∵∠FGA=∠BEA，∠AEB+∠BEQ=180°，
∴∠DFH=∠BEQ，
在△DFH和△BEQ中

DF=BE ∠DFH=∠BEQ FH=EQ

，
∴△DFH≌△BEQ（SAS），
∴BQ=DH，∠QBE=∠FDH，
∵∠ADC=90°，
∴∠QDH=∠QDE+∠EDH=∠FDH+∠EDH=∠ADC=90°，
即△DQH是等腰直角三角形，
由勾股定理得：QH=

2

DH，
即EH+FH=

2

DH．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定以及勾股定理的運(yùn)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，有一定的難度．