Question

【題目】如圖①，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OA以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)移動(dòng)停止．設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時(shí)，求t的值；

（2）當(dāng)t＝1時(shí)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過P，Q兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，拋物線的頂點(diǎn)為K，如圖②所示，該拋物線上是否存在點(diǎn)D，使∠MQD＝∠MKQ？若存在，請求出所有滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝或t＝；（2）或．

【解析】

（1）分△QBC∽△PAQ、△CBQ∽△PAQ，兩種情況分別求解；

（2）先證明∠MKE＝∠QKE＝∠MKQ，分①當(dāng)點(diǎn)D在直線MQ的上方時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)D在直線MQ的下方時(shí)兩種情況進(jìn)一步討論即可求解．

（1）如圖①，∵當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，且△PAQ可以構(gòu)成三角形，

∴0＜t＜3．

∵四邊形OABC是矩形，

∴∠B＝∠PAQ＝90°．

∴當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時(shí)，存在兩種情況：

①當(dāng)△QBC∽△PAQ時(shí)，

∴，

∴，

∴4t2﹣15t+9＝0．

∴t1＝3（舍），t2＝；

②當(dāng)△CBQ∽△PAQ時(shí)，

∴,

∴，

∴t2﹣9t+9＝0．

∴t1＝，t2＝（舍去），

綜上所述，當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時(shí)，t＝或t＝；

（2）當(dāng)t＝1時(shí)，P（1，0），Q（3，2）．

把P（1，0），Q（3，2）代入拋物線y＝x2+bx+c中并解得：

拋物線：y＝x2﹣3x+2．

∴頂點(diǎn)k（，），

連接MQ，

∵Q（3，2），M（0，2），

∴MQ∥x軸，

作拋物線對稱軸，交MQ于E，

∴KM＝KQ．∴KE⊥MQ．

∴∠MKE＝∠QKE＝∠MKQ．設(shè)DQ交y軸于H．

當(dāng)點(diǎn)D在直線MQ的上方時(shí)，如圖②所示，

則∠DQM＝∠MKQ＝∠MKE．

∵∠HMQ＝∠MEK＝90°，

∴△HMQ∽△MEK．

∴,

∴,

解得MH＝2．

∴H（0，4）．

∴直線HQ的解析式為y＝﹣x+4．

又∵y＝x2﹣3x+2，

∴x2﹣3x+2＝﹣x+4．

解得x1＝3（舍），x2＝﹣．

∴D（﹣，）；

當(dāng)點(diǎn)D在直線MQ的下方時(shí)，y軸上存在點(diǎn)H，如圖③所示，使∠HQM＝∠MKQ＝∠MKE．

由對稱性得H（0，0），即H與原點(diǎn)重合．

∴直線OQ的解析式y＝x．

又∵y＝x2﹣3x+2，

∴x2﹣3x+2＝x．

解得x1＝3（舍），x2＝．

∴D（，）．

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣，）或（，）．