Question

如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的頂點坐標為M（0，﹣1），與x軸交于A、B兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）判斷△MAB的形狀，并說明理由；

（3）過原點的任意直線（不與y軸重合）交拋物線于C、D兩點，連接MC，MD，試判斷MC、MD是否垂直，并說明理由．

 

 

Answer 1

（1）拋物線的解析式為：y=x2﹣1；

（2）△MAB是等腰直角三角形，理由見解析；

（3）MC⊥MF，理由見解析．

【解析】

試題分析：（1）待定系數法即可解得．

（2）由拋物線的解析式可知OA=OB=OC=1，得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠BOM=45°從而得出△MAB是等腰直角三角形．

（3）分別過C點，D點作y軸的平行線，交x軸于E、F，過M點作x軸的平行線交EC于G，交DF于H，設D（m，m2﹣1），C（n，n2﹣1），通過FG∥DH，得出，從而求得m、n的關系，根據m、n的關系，得出△CGM∽△MHD，即可求得結論．

試題解析：（1）∵拋物線y=x2+bx+c的頂點坐標為M（0，﹣1），

∴b=0，c=﹣1，

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣1；

（2）△MAB是等腰直角三角形，

由拋物線的解析式為：y=x2﹣1可知A（﹣1，0），B（1，0），

∴OA=OB=OC=1，

∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠BOM=45°，

∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°

∵y軸是對稱軸，

∴A、B為對稱點，

∴AM=BM，

∴△MAB是等腰直角三角形；

（3）MC⊥MF；分別過C點，D點作y軸的平行線，交x軸于E、F，過M點作x軸的平行線交EC于G，交DF于H，

設D（m，m2﹣1），C（n，n2﹣1），

∴OE=﹣n，CE=1﹣n2，OF=m，DF=m2﹣1，

∵OM=1，

∴CG=n2，DH=m2，

∵FG∥DH，

∴，

即

解得m=﹣，

又∵=﹣n，，

∴，

∵∠CGM=∠MHD=90°，

∴△CGM∽△MHD，

∴∠CMG=∠MDH，

∵∠MDH+∠DMH=90°

∴∠CMG+∠DMH=90°，

∴∠CMD=90°，

即MC⊥MF．

考點：二次函數綜合題．