Question

如圖，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，交⊙O于點F，且CE=CB，連接AF，BF．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）①求∠ABF的度數(shù)；
②若AF=4，且AB平分∠OAF時，求弦AB的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：計算題

分析：（1）連結(jié)OB，如圖，由CE=CB得到∠CBE=∠CEB，由CD⊥OA得到∠DAE+∠AED=90°，利用對頂角相等得∠CEB=∠AED，則∠DAE+∠CBE=90°，加上∠OAB=∠OBA，所以∠OBA+∠CBE=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到BC是⊙O的切線；
（2）①連結(jié)OF，OF交AB于H，如圖，由DF⊥OA，AD=OD，根據(jù)等腰三角形的判定得FA=FO，而OF=OA，所以△OAF為等邊三角形，則∠AOF=60°，于是根據(jù)圓周角定理得∠ABF=

1

2

∠AOF=30°；
②由△OAF為等邊三角形得到∠OAF=60°，OA=AF=4，而AB平分∠OAF，所以∠OAB=30°，AH⊥OF，根據(jù)垂徑定理得AH=BH，接著在Rt△AOH中計算出AH=

3

OH=

3

，所以AB=2AH=2

3

．

解答：（1）證明：連結(jié)OB，如圖，
∵CE=CB，
∴∠CBE=∠CEB，
∵CD⊥OA，
∴∠DAE+∠AED=90°，
而∠CEB=∠AED，
∴∠DAE+∠CBE=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠OBA+∠CBE=90°，即∠OBC=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：①連結(jié)OF，OF交AB于H，如圖，
∵DF⊥OA，AD=OD，
∴FA=FO，
而OF=OA，
∴△OAF為等邊三角形，
∴∠AOF=60°，
∴∠ABF=

1

2

∠AOF=30°；
②∵△OAF為等邊三角形，
∴∠OAF=60°，OA=AF=4，
∵AB平分∠OAF，
∴∠OAB=30°，AH⊥OF，
∴AH=BH，
在Rt△AOH中，∵∠OAH=30°，
∴OH=

1

2

OA=2，
AH=

3

OH=

3

，
∴AB=2AH=2

3

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了圓周角定理和垂徑定理．