Question

如圖，以O為原點的直角坐標系中，A點的坐標為（0，1），直線x=1交x軸于點B．點為線段AB上一動點，作直線PC⊥PO，交直線x=1于點C．過P點作直線MN平行于x軸，交y軸于點M，交直線x=1于點N．記AP=x，△PBC的面積為S．
（1）當點C在第一象限時，求證：△OPM≌△PCN；
（2）當點P在線段AB上移動時，點C也隨之在直線x=1上移動，求出S與x之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）當點P在線段AB上移動時，△PBC是否可能成為等腰三角形？如果可能，直接寫出所有能使△PAC成為等腰三角形的x的值；如果不可能，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：

分析：（1）根據∠OPC=90°和同角的余角相等，我們可得出△OPM和△PCN中兩組對應角相等，要證兩三角形全等，必須有相等的邊參與，已知了OA=OB，因此三角形OAB是等腰直角三角形，那么△AMP也是個等腰三角形，AM=MP，OA=OB=MN，由此我們可得出OM=PN，由此我們可得出兩三角形全等．
（2）分兩種情況進行討論：①點C在第一象限時，②點C在第四象限時．分別利用S=S_△PBC=

1

2

BC•PN求解即可．
（3）要分兩種情況進行討論：①當C在第一象限時，要想使PCB為等腰三角形，那么PC=CB，∠PBC=45°，因此此時P與A重合，那么P的坐標就是A的坐標．②當C在第四象限時，要想使PCB為等腰三角形，那么PB=BC，在等腰RT△PBN中，我們可以用x表示出BP的長，也就表示出了BC的長，然后根據（1）中的全等三角形，可得出MP=NC，那么可用這兩個含未知數x的式子得出關于x的方程來求出x的值．那么也就求出了PM、OM的長，也就得出了P點的坐標．

解答：證明：（1）如圖，

∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90°
∴四邊形OBNM為矩形
∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°
∵OA=OB，
∴∠1=∠3=45°
∵MN∥OB
∴∠2=∠3=45°
∴∠1=∠2=45°，
∴AM=PM
∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM
∴OM=PN
∵∠OPC=90°，
∴∠4+∠5=90°，
又∵∠4+∠6=90°，
∴∠5=∠6
∴△OPM≌△PCN
（2）解：①點C在第一象限時，
∵AM=PM=APsin45°=

2

2

x
∴OM=PN=1-

2

2

x，
∵△OPM≌△PCN
∴CN=PM=

2

2

x，
∴BC=OM-CN=1-

2

2

x-

2

2

x=1-

2

x，
∴S=S_△PBC=

1

2

BC•PN=

1

2

×（1-

2

2

x）•（1-

2

x）=

1

2

x²-

3 2

2

x+

1

2

（0≤x＜

2

2

）．
②如圖1，點C在第四象限時，

∵AM=PM=APsin45°=

2

2

x
∴OM=PN=1-

2

2

x，
∵△OPM≌△PCN
∴CN=PM=

2

2

x，
∴BC=CN-OM=

2

2

x-（1-

2

2

x）=

2

x-1，
∴S=S_△PBC=

1

2

BC•PN=

1

2

×（1-

2

2

x）•（

2

x-1）=

1

2

x²-

3 2

2

x+

1

2

（

2

2

＜x＜

2

）．
（3）解：△PBC可能成為等腰三角形
①當P與A重合時，PC=BC=1，此時P（0，1）
②如圖，當點C在第四象限，且PB=CB時

有BN=PN=1-

2

2

x
∴BC=PB=

2

PN=

2

-x
∴NC=BN+BC=1-

2

2

x+

2

-x
由（2）知：NC=PM=

2

2

x
∴1-

2

2

x+

2

-x=

2

2

x
整理得（

2

+1）x=

2

+1
∴x=1
∴PM=

2

2

x=

2

2

，BN=1-

2

2

x=1-

2

2

，
∴P（

2

2

，1-

2

2

）
由題意可知PC=PB不成立
∴使△PBC為等腰三角形的點P的坐標為（0，1）或（

2

2

，1-

2

2

）．

點評：本題考查了一次函數的綜合題，涉及全等三角形的判定及等腰三角形的性質；分類討論是正確解答本題的關鍵．