Question

在△ABC中，AD⊥BC于點D，∠BAC=45°，BD=3，DC=2，則△ABC的面積為

 

．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：把△ABD沿AB為對稱軸翻折成為△ABE，△ACD沿AC為對稱軸翻折成為△ACG，延長EB、GC相交于點F，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可以證明四邊形AEFG是正方形，設(shè)AD=x，用x表示出BF、CF，在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理列式進行計算即可求出x的值，再利用三角形的面積公式列式計算即可得解．

解答：解：如圖，把△ABD沿AB為對稱軸翻折成為△ABE，△ACD沿AC為對稱軸翻折成為△ACG，延長EB、GC相交于點F，
則△ABE≌△ABD，△ACD≌△ACG，
所以，AD=AE=AG，∠AEB=∠AGC=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠EAG=∠EAB+∠BAD+∠CAD+∠CAG=2（∠BAD+∠CAD）=2∠BAC=2×45°=90°，
∴四邊形AEFG是正方形，
∵BD=3，DC=2，
∴BC=BD+CD=3+2=5，
設(shè)AD=x，則BF=EF-BE=x-3，CF=FG-CG=x-2，
在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理，BF²+CF²=BC²，
即（x-3）²+（x-2）²=5²，
整理得，x²-5x-6=0，
解得，x₁=-1（舍去），x₂=6，
所以，S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×5×6=15．
故答案為：15．

點評：本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)∠BAC=45°軸對稱圖形，構(gòu)造出正方形并得到Rt△BCF是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．