Question

我們將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．例如線段AB的最小覆蓋圓就是以線段AB為直徑的圓．
（1）請(qǐng)作出圖中三角形的最小覆蓋圓；（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）設(shè)（1）中所作圓的圓心為O，且AB=AC，過點(diǎn)A作AP∥BC，交BO的延長線于點(diǎn)P．
①求證：AP是⊙O的切線；
②當(dāng)AB=5，BC=6時(shí)，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）分別作出各邊的中垂線，以三邊中垂線的交點(diǎn)為圓心，交點(diǎn)到一個(gè)頂點(diǎn)的線段長度為半徑畫圓，則此圓即為△ABC的最小覆蓋圓；
（2）①先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AH⊥BC，再由AP∥BC可知AH⊥AP，由此可得出結(jié)論；
②先根據(jù)垂徑定理求出BH的長，根據(jù)勾股定理得出AH的長，設(shè)半徑為r，在Rt△BOH中根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1所示：

（2）①證明：∵AB=AC，點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，
∴AH⊥BC，
∵AP∥BC，
∴AH⊥AP，
∵點(diǎn)A在⊙O上，
∴AP是⊙O的切線；
②∵AB=AC，AH⊥BC，AB=5，BC=6，
∴BH=

1

2

BC=3，AH=

AB2-BH2

=

52-32

=4，
設(shè)半徑為r，在Rt△BOH中，BH²+OH²=OB²，即3²+（4-r）²=r²，解得r=

25

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的綜合題，涉及到三角形外接圓的性質(zhì)、切線的判定、平行線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，難度適中．