Question

如圖所示，⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃兩兩外切，切點為A、B、C，它們的半徑為r₁、r₂、r₃．
（1）若△O₁O₂O₃是直角三角形，r₂：r₃=2：3，用r₂表示r₁；
（2）若△O₁O₂O₃與以A、B、C為頂點的三角形相似，求r₁、r₂、r₃必須滿足什么條件，并加以證明．

Answer 1

考點：相切兩圓的性質(zhì)

專題：

分析：（1）因為△O₁O₂O₃是直角三角形，根據(jù)⊙O₁，⊙O₂，⊙O₃兩兩外切，得出三邊的長度，結(jié)合斜邊的情況，利用勾股定理用r₂表示r₁；
（2）r₁=r₂=r₃時，△O₁O₂O₃與以A、B、C為頂點的三角形相似．

解答：解：（1）圓心距分別為r₁+r₂，r₁+r₃，r₂+r₃，r₂：r₃=2：3，
有r₃=1.5r₂，r₁＞r₃時，
（r₁+r₂）²=（r₁+r₃）²+（r₂+r₃）²，
解得r₁=-7.5r₂（不合題意，舍去），
r₁≤r₃時，（r₁+r₃）²=（r₁+r₂）²+（r₂+r₃）²，
解得r₁=5r₂；

（2）r₁=r₂=r₃時，△O₁O₂O₃與以A、B、C為頂點的三角形相似，
∵r₁=r₂=r₃，
∴AB=

1

2

O₁O₃，AC=

1

2

O₂O₃，CB=

1

2

O₂O₁，
∴△O₁O₂O₃∽△CAB為頂點的三角形相似．

點評：本題考查了三圓兩兩外切的函數(shù)問題，同時考查了勾股定理，及三角函數(shù)的知識．