Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知，.

（1）如圖1，求的值.

（2）把繞著點順時針旋轉，點、旋轉后對應的點分別為、.

①當恰好落在的延長線上時，如圖2，求出點、的坐標.

②若點是的中點，點是線段上的動點，如圖3，在旋轉過程中，請直接寫出線段長的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）;（2）①，②;（3）

【解析】

（1）作AH⊥OB，根據正弦的定義即可求解；

（2）作MC⊥OB，先求出直線AB解析式，根據等腰三角形的性質及三角函數的定義求出M點坐標，根據MN∥OB，求出N點坐標；

（3）由于點C是定點，點P隨△ABO旋轉時的運動軌跡是以B為圓心，BP長為半徑的圓，故根據點和圓的位置關系可知，當點P在線段OB上時，CP=BP-BC最短；當點P在線段OB延長線上時，CP=BP+BC最長．又因為BP的長因點D運動而改變，可先求BP長度的范圍．由垂線段最短可知，當BP垂直MN時，BP最短，求得的BP代入CP=BP-BC求CP的最小值；由于BM>BN，所以點P與M重合時，BP=BM最長，代入CP=BP+BC求CP的最大值．

（1）作AH⊥OB，

∵，.

∴H（3,5）

∴AH=3,AH=

∴==

（2）由（1）得A（3,4），又

求得直線AB的解析式為：y=

∵旋轉，∴MB=OB=6,

作MC⊥OB，∵AO=BO，

∴∠AOB=∠ABO

∴MC=MBsin∠ABO=6×=

即M點的縱坐標為，代入直線AB得x=

∴，

∵∠NMB=∠AOB=∠ABO

∴MN∥OB，又MN=AB=5，

則+5=

∴

（3）連接BP

∵點D為線段OA上的動點，OA的對應邊為MN

∴點P為線段MN上的動點

∴點P的運動軌跡是以B為圓心，BP長為半徑的圓

∵C在OB上,且CB=OB=3

∴當點P在線段OB上時,CP=BPBC最短;當點P在線段OB延長線上時,CP=BP+BC最長

如圖3，當BP⊥MN時，BP最短

∵S△NBM=S△ABO，MN=OA=5

∴MNBP=OByA

∴BP= ==

∴CP最小值=3=

當點P與M重合時，BP最大，BP=BM=OB=6

∴CP最大值=6+3=9

∴線段CP長的取值范圍為.