Question

如圖，拋物線y=ax²-2ax+b經(jīng)過點(diǎn)C（0，-

3

2

），且與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，若tan∠ACO=

2

3

．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)P是線段OB上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），∠MPQ=45°，射線PQ與線段BM交于點(diǎn)Q，當(dāng)△MPQ為等腰三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²-2ax+b經(jīng)過點(diǎn)C（0，-

3

2

），求出b=-

3

2

，再根據(jù)tan∠ACO=

2

3

，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再代入y=ax²-2ax-

3

2

即可得出此拋物線的解析式；（2）①過點(diǎn)M作MP⊥AB，垂足為點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥MB，垂足為點(diǎn)Q，先求出PB=PM=2，再根據(jù)∠PMQ=45°，得出∠MPQ=45°，再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；
②當(dāng)∠MPQ=45°，PM=PQ時，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），則BP=3-m，根據(jù)△MPQ∽△MBP，得出MB=BP，2

2

=3-m，求出m的值即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)P是線段OB上一動點(diǎn)，得出不合題意，舍去；
③當(dāng)∠MPQ=45°，PM=QM時，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，得出不合題意，舍去．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²-2ax+b經(jīng)過點(diǎn)C（0，-

3

2

），
∴b=-

3

2

，
∴OC=

3

2

，
∵tan∠ACO=

2

3

，
∴OA=1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是：（-1，0），
把（-1，0）代入y=ax²-2ax-

3

2

得；a=

1

2

，
∴此拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-x-

3

2

，
（2）①過點(diǎn)M作MP⊥AB，垂足為點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥MB，垂足為點(diǎn)Q，
∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（1，-2），
點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（3，0），
∴PB=PM=2，
∴∠PMQ=45°，
∴∠MPQ=45°，
∴PQ=MQ，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）；
②當(dāng)∠MPQ=45°，PM=PQ時，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），則BP=3-m，
∵∠M=∠M，∠MPQ=∠MBP，
∴△MPQ∽△MBP，
∴

MP

MB

=

PQ

BP

，
∵PM=PQ，
∴MB=BP，
∵M(jìn)B=

22+22

=2

2

，
∴2

2

=3-m，
∴m=3-2

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3-2

2

，0）；
③當(dāng)∠MPQ=45°，PM=QM時，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，
（當(dāng)PM=QM時，∠MPQ=∠MQP=45°，所以∠M=90°，又因?yàn)椤螧=45°，所以△MBP是等腰直角三角形，所以，點(diǎn)M在線段BP的垂直平分線上．
又點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，所以，點(diǎn)M在BA的垂直平分線上，所以，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合）
∵點(diǎn)P是線段OB上一動點(diǎn)，
∴不合題意，舍去．
綜上所述：點(diǎn)P（1，0），（3-2

2

，0）．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的綜合，用到的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出所有圖形，注意把不合題意的結(jié)果舍去．