Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，過坐標原點O的圓M分別交x軸、y軸于點A（6，0）、B（0，-8）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若有一條拋物線的對稱軸平行于y軸且經過M點，頂點C在圓M上，開口向下，且經過點B，求此拋物線的解析式；
（3）設（2）中的拋物線與x軸交于D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂）兩點，且x₁＜x₂，在拋物線上是否存在點P，使△PDE的面積是△ABC面積的？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了A、B兩點的坐標，可用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式．
（2）已知了A、B的坐標，M是線段AB的中點，不難得出M點的坐標和圓的半徑，據此可求出C點的坐標．然后用頂點式二次函數(shù)解析式設拋物線，將B點坐標代入拋物線的解析式中即可求出待定系數(shù)的值．也就得出了拋物線的解析式．
（3）先求出三角形ABC的面積（可將三角形ABC分成三角形AMC和三角形BMC兩部分來求）．然后根據三角形ABC與三角形PDE的面積比求出三角形PDE的面積．由于三角形PDE中，DE的長是定值，因此可求出P點的縱坐標的絕對值，將其代入拋物線的解析式中即可求出P點坐標．
解答：解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b
根據題意，得：
解之，得k=，b=-8
∴直線AB的解析式為y=x-8

（2）設拋物線對稱軸交x軸于F，
∵∠AOB=90°，
∴AB為圓M的直徑，即AM=BM，
∴拋物線的對稱軸經過點M，且與y軸平行，OA=6，
∴對稱軸方程為x=3，
作對稱軸交圓M于C，
∴MF是△AOB的中位線，
∴MF=BO=4，
∴CF=CM-MF=1，
∵點C（3，1），由題意可知C（3，1）就是所求拋物線的頂點．
方法一：設拋物線解析式為y=a（x-3）²+1，
∵拋物線過點B（0，-8），
∴-8=a（0-3）²+1，
解得：a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-（x-3）²+1或y=-x²+6x-8；

方法二：∵拋物線過點B（0，-8），
∴可設拋物線的解析式為y=ax²+bx-8，
由題意可得：，
∴a=-1，b=6，
∴拋物線的解析式為y=-x²+6x-8；

（3）令-x²+6x-8=0，得x₁=2，x₂=4，
∴D（2，0），E（4，0），
設P（x，y），
則S_△PDE=•DE•|y|=×2|y|=|y|，
S_△ABC=S_△BCM+S_△ACM=•CM•（3+3）=×5×6=15，
若存在這樣的點P，則有|y|=×15=3，
從而y=±3，
當y=3時，-x²+6x-8=3，
整理得：x²-6x+11=0，
∵△=（-6）²-4×11＜0，
∴此方程無實數(shù)根；
當y=-3時，-x²+6x-8=-3，
整理得：x²-6x+5=0，
解得：x₁=1，x₂=5，
∴這樣的P點存在，且有兩個這樣的點：P₁（1，-3），P₂（5，-3）．
點評：本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點、圖形面積的求法等知識點．綜合性較強，難度適中．