Question

【題目】如圖1，拋物線過點(diǎn)A(－1，0)，B(4，0)，與y軸相交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸正半軸上存在點(diǎn)E，使得△BCE是等腰三角形，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）如圖2，點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，是否存在點(diǎn)D，使得△CDM中的某個(gè)角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，請求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，2或

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出BC的長，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，0），分BE=BC及CE=BE兩種情況考慮：①當(dāng)BE=BC時(shí)，由BE=2結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；②當(dāng)CE=BE時(shí)，在Rt△OCE中利用勾股定理可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）分∠DCM=2∠ABC及∠CDM=2∠ABC兩種情況考慮：①當(dāng)∠DCM=2∠ABC時(shí)，取點(diǎn)F（0，-2），連接BF，則CD∥BF，由點(diǎn)B，F的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線BF，CD的解析式，聯(lián)立直線CD及拋物線的解析式成方程組，通過解方程組可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；②當(dāng)∠CDM=2∠ABC時(shí)，過點(diǎn)C作CN⊥BF于點(diǎn)N，作點(diǎn)N關(guān)于BC的對稱點(diǎn)P，連接NP交BC于點(diǎn)Q，利用待定系數(shù)法及垂直的兩直線一次項(xiàng)系數(shù)乘積為-1可求出直線CN的解析式，聯(lián)立直線BF及直線CN成方程組，通過解方程組可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用對稱的性質(zhì)可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由點(diǎn)C、P的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線CP的解析式，將直線CP的解析式代入拋物線解析式中可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其非零值可得出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)．綜上，此題得解．

解：（1）． ∵拋物線過點(diǎn),，

∴

解得

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：

（2）拋物線,

當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，；

∴,,

∴,

①當(dāng)時(shí)，如圖1，點(diǎn)是線段的中垂線與軸的交點(diǎn)，

設(shè)，則，在RT△OCE中，

，解得,

∴

②當(dāng)時(shí)，

∴

（3）分兩種情況考慮：

①當(dāng)∠DCM=2∠ABC時(shí)，取點(diǎn)F（0，-2），連接BF，如圖4所示．
∵OC=OF，OB⊥CF，
∴∠ABC=∠ABF，
∴∠CBF=2∠ABC．
∵∠DCB=2∠ABC，
∴∠DCB=∠CBF，
∴CD∥BF．
∵點(diǎn)B（4，0），F（0，-2），
∴直線BF的解析式為y=x-2，
∴直線CD的解析式為y=x+2．
聯(lián)立直線CD及拋物線的解析式成方程組，得： ，
解得： （舍去）， ，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3）；
②當(dāng)∠CDM=2∠ABC時(shí)，過點(diǎn)C作CN⊥BF于點(diǎn)N，作點(diǎn)N關(guān)于BC的對稱點(diǎn)P，連接NP交BC于點(diǎn)Q，如圖5所示．

設(shè)直線CN的解析式為y=kx+c（k≠0），
∵直線BF的解析式為y=x-2，CN⊥BF，
∴k=-2．
又∵點(diǎn)C（0，2）在直線CN上，
∴直線CN的解析式為y=-2x+2．
連接直線BF及直線CN成方程組，得：，
解得：，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（）．
∵點(diǎn)B（4，0），C（0，2），
∴直線BC的解析式為y=-x+2．
∵NP⊥BC，且點(diǎn)N（），
∴直線NP的解析式為y=2x-．
聯(lián)立直線BC及直線NP成方程組，得：，
解得： ，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）．
∵點(diǎn)N（），點(diǎn)N，P關(guān)于BC對稱，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）．
∵點(diǎn)C（0，2），P（），
∴直線CP的解析式為y=x+2．
將y=x+2代入y=-x+2整理，得：11x2-29x=0，
解得：x1=0（舍去），x2=，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為．
綜上所述：存在點(diǎn)D，使得△CDM的某個(gè)角恰好等于∠ABC的2倍，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2或．